qu est ce qu un vecteur

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Deux vecteurs

u

\displaystyle \overrightarrow u

et

v

\displaystyle \overrightarrow v

et le vecteur somme.
Article détaillé :Espace vectoriel .
Les bipoints (A, B), (C, D), (E, F) sontéquipollents . Ils constituent trois représentants d’un même vecteur. En effet, les quadruplets de points ABFE et ABDC définissent deuxparallélogrammes .
Article détaillé :produit scalaire .
Article détaillé :Espace vectoriel .
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↑ Ce problème provient duPapyrus Rhindétudié parSylvia Couchouddans son livreMathématiques égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique , éditions Le Léopard d’Or 2004( ISBN   978-2-863-77118-1 )
↑ Le texte d’Euclideest disponible en ligne surGallica . Une analyse est donnée dans R. Mankiewicz,L’histoire des mathématiques , Seuil, 2001( ISBN   2-02048-3068 )(cet ouvrage est généraliste et traite la période hellénistique et en particulier Euclide).
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↑ Les informations sur les neuf chapitres ainsi qu’une version de ce texte se trouvent dansKarineChemlaet GuoShuchun ,Les neuf chapitres : Le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires [ détail de l’édition ](ce livre contient une traduction française avec des addenda détaillés et une édition commentée du texte chinois du livre et de son commentaire).
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↑ Droites et plans dans l’espaceCours de Terminale par A. Turbergue.
↑a ,betc Emil Artin ,Algèbre géométrique ,Calmann-Lévy , chap. II.
↑ A la place de l’appellation « composantes » certains emploient aussi  » coordonnées « , mais ce dernier terme empêche la différentiation entre l’unicité de la localisation despoints , qui sont « fixes » dans unrepère , et l’aspect « glissant » des composantes vectorielles, dû à la nature declasse d’équivalenceet la multiplicités des représentants de chaque vecteur. Cf.StellaBaruk ,Dictionnaire de mathématiques élémentaires [ détail des éditions ] .
↑ Jean Hladik et Pierre-Emmanuel Hladik,Le calcul tensoriel en physique ,3 eéd., Dunod, Paris, 1999,p.  16-17 .
↑ Ces divers exemples sont essentiellement issus des programmes de mathématiques du secondaireLe B.O.n o  4 2001 mathématiques hors sériepage 69 pour la terminale etLe B.O.n o  2 2001 mathématiques hors sériepage 34 pour la seconde.
↑ Le siteMathématiques pour la Physique et la Chimieréalisé parUniversité en lignepropose un exposé des définitions du paragraphe.
↑ Torseur – Un cours minimalGénéralisations de la notion de vecteur pour la physique, par Yannick Remion, IUT Léonard-de-Vinci de Reims, 1995.
↑ Comprendre l’image numérique: vectorielle et bitmap …sur le site Cuk, 2004.
↑ Memory as Vectorstiré de( en )H. Abelson, G. J. Sussman et J. SussmanStructure and Interpretation of Computer Programs ,2 eéd.,MIT Press , 1996,( ISBN   0262011530 )(ce livre est disponible sur leWeb . Il traite des aspects théoriques de la programmation et des structures vectorielles de stockage des informations).

Ce texte montre comment les artistes de laRenaissanceproduisent des mathématiques qui non seulement révolutionnent leur métier, mais contribuent aussi auxmathématiques pures .
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Ce livre traite à la fois des aspects pratiques comme la force et la faiblesse des différentes techniques, des différents logiciels et formats disponibles sur les marchés et des aspects théoriques
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Enmathématiques , unvecteurest un objet généralisant plusieurs notions provenant de la géométrie (couples de points,translations , etc.), de l’algèbre (« solution » d’unsystème d’équationsà plusieurs inconnues), ou de la physique ( forces ,vitesses ,accélérations , etc.).
Rigoureusementaxiomatisée , la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques appeléealgèbre linéaire . À ce sens, un vecteur est un élément d’unespace vectoriel , ce qui permet d’effectuer des opérations d’ additionet demultiplication par un scalaire . Unn-upletpeut constituer un exemple de vecteur, à condition qu’il appartienne à un ensemble muni des opérations adéquates.
On représente fréquemment les vecteurs comme de simples n-uplets ou, graphiquement, dans le cas particulier des espaces à 1, 2 ou 3 dimensions, par des flèches : cette représentation est issue de la combinaison des notions de couple de points de lagéométrie euclidienne(qui permettent de définir les distances, mais aussi ladirectionet le sens), et des possibilités de calcul offertes par l’ algèbre  ; cela permet de donner un sens à des vecteurs définis en dimension deux (le plan), trois (l’espace euclidien usuel), mais plus généralement dans des espaces dedimensionquelconque.
En physique, les vecteurs sont grandement utilisés, ils permettent de modéliser desgrandeurscomme uneforce , unevitesse , uneaccélération , unequantité de mouvementou certainschamps( électrique ,magnétique ,gravitationnel …). Une grandeur vectorielle s’oppose à unegrandeur scalaire  : la grandeur scalaire a uniquement une valeur mais pas de direction ou de sens.
Ces notions de champs, et les opérateurs permettant de les calculer, ont amené à définir, enalgèbre multilinéaire , la notion dechamp vectoriel , c’est-à-dire unefonctionde ℝ ndans ℝ n . Ainsi, par exemple, résoudre uneéquation différentielle , c’est déterminer les courbes auxquelles sont tangents les vecteurs du champ.
Plus généralement encore, les vecteurs sont des cas particuliers detenseurs(ils s’identifient aux tenseurs d’ordre un). Les tenseurs d’ordre deux sont représentés par desmatriceset les matrices d’uneapplication linéairetransformant les vecteurs enforme linéaireconstituent une forme particulière de vecteurs, appelées aussibivecteurs .
La notion de vecteur est le fruit d’une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans. Deux familles d’idées, d’abord distinctes, sont à l’origine de la formalisation. L’une d’elle est lagéométrie , traitant delongueurs , d’ angleset de mesures desurfaceset devolumes . L’autre correspond à l’ algèbre , qui traite desnombres , de l’ additionou lamultiplicationet plus généralement d’ensembles munis d’opérations. Un vieux problème d’algèbre nous vient par exemple desÉgyptienset s’exprime de la manière suivante :« On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun [ 1 ]  ? »Ces deux familles d’idées sont développées indépendamment, pour finir par converger vers la notion de vecteur.
Lacivilisation grecquedéveloppe la géométrie à un niveau inégalé à cette époque. L’un des fleurons est le traité nommélesÉléments d’Euclide , datant duIII e  siècleav. J.-C. . Il contient la formalisation, très rigoureuse pour l’époque, d’une géométrie, encore maintenant appeléeeuclidienne . On y trouve les définitions d’unedroite , d’unplanou de notre espace physique dedimensiontrois permettant de modéliser des volumes. Les propriétés desdistances , des angles, des mesures de surfaces et de volumes sont étudiées. Les théorèmes fondateurs, comme ceux appelésThalèsouPythagore , sont explicités et démontrés.
L’algèbre y est peu développée et contient essentiellement de l’ arithmétique . Les nombresentiersetrationnelssont étudiés ainsi que quelquesirrationnels , c’est-à-dire les nombres qui ne s’écrivent pas sous forme d’une fraction d’entiers [ 2 ] . Les nombres sont toujoursstrictement positifs .
LaChinedéveloppe les premières idées algébriques à l’origine des vecteurs. Un vieux texte, datant probablement duI er  siècleav. J.-C. [ 3 ]  :les Neuf Chapitres sur l’art mathématiquey consacre sa huitième partie. Elle s’intituleFang chengouDisposition rectangulaireet traite d’un problème maintenant appelésystème d’équations linéaires . Cette culture n’en reste pas là,Qin Jiushao ( 1202-1261 )généralise cette étude à des nombres différents des entiers ou rationnels. Il utilise lescongruences , inaugurant une démarche consistant à définir des vecteurs sur des ensembles de nombres exotiques. Il peut ainsi résoudre des problèmes liés au calendrier et aux alignements de planètes avec une très grande précision [ 4 ] . La méthode utilisée ne sera connue qu’auXIX e  siècleen Occident, sous le nom depivot de Gauss . Ce résultat est suffisamment étonnant pour queUlrich Libbrecht   (en)précise que :« Nous ne devrions pas sous-estimer la percée révolutionnaire de Qin, en effet, depuis lethéorème des restes chinoisdeSun Zi , on passe sans intermédiaire à unalgorithmeplus avancé que la méthode de Gauss elle-même, et il n’y a pas la moindre indication d’une évolution graduelle [ 5 ] . »
L’aspect géométrique n’échappe pas aux mathématiciens chinois. Le dernier chapitre, leGou gucomporte un équivalent du théorème de Thalès et de Pythagore [ 6 ] .
L’existence d’un lien entre ce que l’on appelle maintenant l’algèbre et la géométrie est ancienne. LesBabyloniensconnaissaient déjà la propriété algébrique de la diagonale d’un carré de côté de longueurun , à savoir que son carré est égal àdeux . Ils savaient de plus calculer cette valeur avec une remarquable précision [ 7 ] . Ce lien est aussi connu des Grecs et des Chinois.
Il faut cependant attendre lacivilisation arabepour observer un progrès significatif. Leurs mathématiciens connaissaient les travaux des Grecs, particulièrement ceux d’ Euclide [ 8 ] . Les notations utilisées laissent penser qu’ils avaient aussi accès à des travaux des premiers mathématiciens chinois [ 9 ] . Le progrès déterminant consiste à associer au plan géométrique descoordonnées .Omar Khayyam ( 1048-1131 )cherche les solutions d’un problème purement algébrique : trouver lesracinesd’unpolynômedu troisième degré. Un système de coordonnées lui permet de visualiser ces racines comme lesabscissesdes intersections d’uneparaboleet d’unehyperbole [ 10 ] .
Le système des coordonnées est repris en Europe. La volonté de maitriser la perspective pousse les peintres italiens à étudier les mathématiques.Filippo Brunelleschi ( 1377-1446 )découvre les lois de la perspective, issues d’une projection centrale [ 11 ] . Ces résultats sont formalisés [ 12 ]parLeon Battista Alberti ( 1404-1472 ) . Les théoriciens de la perspective disposent de multiples talents. AinsiPiero della Francesca ( vers 1412-1492 ) , auteur d’un traité sur la question [ 13 ] , est à la fois peintre et mathématicien.Giorgio Vasari ( 1511-1574 )indique, à propos de ses talents de géomètre « il ne fut inférieur à personne de son époque et peut-être de tout temps [ 14 ]  ».
La physique est le moteur suivant de la convergence entre géométrie et algèbre. En1604 ,Galileo Galilei ( 1564-1642 )établit [ 15 ]la loi de la chute des corps. Les illustrations de ses notes montrent l’utilisation d’un repère. L’optique est la branche qui aboutit au progrès le plus marquant.Pierre de Fermat ( 1601-1665 ) , qui connaissait les écrits de Galilée, etRené Descartes ( 1596-1650 )s’écrivent des lettres au sujet de la dioptrique (la manière dont la lumière se réfléchit sur un miroir) et à laréfraction(la déviation d’un rayon lumineux quand il change de milieu, par exemple en passant de l’air à l’eau) [ 16 ] . Ils arrivent à la conclusion qu’unrepèreest une méthode systématique permettant d’appréhendertousles problèmes de géométrie euclidienne. Ces résultats sont consignés dans un traité de Descartes [ 17 ] . Il écrit en introduction : « Comment le calcul d’arithmétique se rapporte aux opérations de géométrie ». Pour Descartes, calcul d’arithmétique signifie approximativement ce qui est maintenant appelé algèbre. Cette approche est particulièrement féconde pour l’étude d’une branche naissante des mathématiques : lagéométrie analytique . Un exemple est donné par l’étude de lacycloïde . Cette courbe décrit la trajectoire d’un point de la surface d’une roue se déplaçant sans glissement sur un sol horizontal.
Isaac Newton ( 1643-1727 )développe [ 18 ]la géométrie analytique et l’utilise enastronomie . Cette application est l’origine [ 19 ]de l’utilisation du terme vecteur. En1704 , un dictionnaire technique anglais indique :
« Une ligne dessinée depuis une planète, se déplaçant autour d’un centre ou du foyer d’une ellipse, jusqu’à ce centre ou ce foyer, est appelé Vecteur par quelques auteurs de la Nouvelle Astronomie, car cette ligne semble porter la planète autour du centre [ 20 ] . »
Ce terme apparait en français sous la plume dePierre-Simon de Laplace ( 1749-1827 )dans l’expressionrayon vecteur [ 21 ] , encore dans un contexte astronomique. Il vient du latinvectorprovenant lui-même du verbeveherequi veut dire transporter [ 22 ] . Pour les romains, le motvectordésignait aussi bien le passager que le conducteur d’un bateau ou d’un chariot. Les mots français véhicule, voiture, mais aussi invective proviennent de cette même racine latine. Son origine est plus ancienne, elle provient de l’ indo-européen*VAG, ou *VAGH et signifie chariot.
Ainsi, auXVII e  siècle , le contexte géométrique et algébrique du vecteur est présent. En revanche, aucune formalisation n’est proposée et le terme, s’il est utilisé, désigne encore unegrandeur scalaire .
La première formalisation des vecteurs est le fruit d’un travail de plusieurs mathématiciens durant la première moitié duXIX e  siècle .Bernard Bolzanopublie un livre élémentaire [ 23 ]contenant une construction axiomatique de la géométrie analogue à celle d’Euclide, fondée sur des points, droites et plans. Il adjoint les opérations algébriques d’addition et de multiplication. Lagéométrie projective , héritière du travail sur la perspective des peintres de la renaissance italienne, conduitJean-Victor PonceletetMichel Chaslesà affiner [ 24 ] , [ 25 ]les travaux de Bolzano.August Ferdinand Möbiusapporte sa pierre à l’édifice en développant le système decoordonnées barycentriques [ 26 ] . Enfin, la formalisation encore actuellement enseignée, à partir des notions de bipoint et d’ équipollence , est l’œuvre [ 27 ]deGiusto Bellavitis .
Une autre voie est explorée, purement algébrique.William Rowan Hamiltonremarque que lesnombres complexesreprésentent un plan euclidien. Il passe dix ans de sa vie [ 28 ]à chercher un équivalent en dimension trois, et finit par trouver le corps desquaternions , de dimension quatre en1843 . Il propose deux nouvelles définitions pour les mots « vecteur » et « scalaire ». Un vecteur est pour lui un élément d’un sous-ensemble des quarternions, de dimension trois. Il écrit :
« Unvecteurest donc […] une sorte detriplet naturel(suggéré par la géométrie) : et en conséquence nous verrons que lesquaternionsoffrent une représentation symbolique simple de tout vecteur sous forme trinomiale ( ix+jy+kz ) ; ce qui ramène la conception et l’expression d’un tel vecteur à la forme la plus proche possible de celle obtenue avec les coordonnées cartésiennes et rectangulaires [ 29 ] . »
En 1878, dansÉléments de dynamique William Kingdon Cliffordreprendra en la simplifiant la notion de quaternions. Il introduit en particulier leproduit scalaireet leproduit vectorielde deux vecteurs. Cette approche permit d’utiliser les vecteurs d’une manière plus calculatoire.
Cette deuxième voie, qui donne pour la première fois une signification analogue aux formalisations modernes de la notion de vecteur, est ensuite précisée et enrichie. Elle consiste maintenant à définir un vecteur comme un élément d’un espace vectoriel.
Lagéométrie euclidienneest la géométrie du plan ou de l’espace fondée sur lesaxiomes d’Euclide . Les notions depoint , dedroite , delongueur , sont introduits par le biais d’axiomes. Le vecteur est alors un objet géométrique construit à partir des précédents.
Une visualisation intuitive d’un vecteur correspond à undéplacementd’un point, ou pour utiliser le terme mathématique précis, unetranslation . Ainsi un vecteur possède une longueur, la distance entre le point de départ et d’arrivée, une direction si le déplacement n’est pas nul, c’est la droite contenant le point de départ et d’arrivée et un sens, depuis le départ jusqu’à l’arrivée.
Un vecteur est représenté par un segment orienté (une flèche) ayant pour extrémités un point de départ et un point d’arrivée. L’emplacement dans le plan ou l’espace n’a pas d’importance, deux déplacements de deux points d’origine distincts peuvent correspondre au même vecteur, seuls comptent sa longueur, sadirectionet son sens. Il est donc possible de le faire glisser librement dans le plan, parallèlement à lui-même. SiAetBsont deux points distincts, le vecteur

A
B

\displaystyle \scriptstyle \overrightarrow AB

possède trois éléments caractéristiques :
Attention cependant à ne pas confondre sens et direction. En effet, dans le langage courant, lorsqu’on se trouve sur une route entre Paris et Versailles et que l’on dit que l’on va dans la direction de Versailles, on se rapproche de cette dernière ville. Mais dans le langage mathématique, la direction est portée par la route (direction Paris-Versailles) sans savoir si l’on va de Versailles vers Paris ou de Paris vers Versailles. Pour savoir vers quelle ville on se dirige, il faudra aussi donner le sens : le sens Paris-Versailles par exemple pour indiquer que l’on va de Paris vers Versailles.
Une définition formelle utilise au préalable la notion debipoint . Il est défini comme uncouplede points. L’ordre a une importance : le premier point est appeléorigine . Deux bipoints ( A ,B ) et ( C ,D ) sont ditséquipollentslorsque les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. La relation d’équipollence constitue unerelation d’équivalencesur les bipoints. Une classe d’équivalence contient tous les bipoints dont le deuxième membre est l’ imagedu premier point par le déplacement.
La classe d’équivalence d’un bipoint ( A ,B ) est appelée vecteur et est notée

A
B

\displaystyle \scriptstyle \overrightarrow AB

. Le bipoint ( A ,B ) en est un représentant. Réciproquement, tout vecteur admet plusieurs bipoints représentants, dont aucun n’est privilégié. Si une origine est choisie, il existe un unique bipoint représentant un vecteur donné.
Si les vecteurs peuvent être déplacés dans le plan, quant à eux, les points ne le sont pas. Ces derniers restent fixes. L’intérêt d’avoir un représentant d’un vecteur est d’obtenir parmi les bipoints équipollents un seul dont l’origine ou l’extrémité est fixée une fois pour toutes.
Ainsi deux bipoints ( A ,B ) et ( C ,D ) sont équipollents si et seulement s’ils représentent le même vecteur et on peut alors écrire l’égalité
Tous les bipoints constitués de la répétition d’un même point : ( A ,A ), sont équipollents entre eux, ils sont les représentants d’un vecteur qualifié denul . Il est noté
Cet unique vecteur possède la propriété particulière d’avoir son origine et son extrémité confondues. Ce vecteur sera alors le seul à être représenté comme un point. Un vecteur représente un déplacement. Mais dans un vecteur nul, l’extrémité et l’origine étant confondues, il n’y a aucun déplacement. Cela veut donc dire l’absence de déplacement est considérée comme un déplacement.
Les théories présentant les vecteurs comme une classe d’équivalence de bipoints les notent en général par une lettre surmontée d’une flèche [ 30 ] .
La longueur d’un bipoint(A, B)est définie comme la longueur du segment sous-jacent. Deux bipoints équipollents ont la même longueur. Tous les représentants d’un vecteur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

ont donc la même longueur, qui est appeléenorme(oumodule ) du vecteur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

et notée en général

|

|

u

|

|

(on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exempleuouAB ). Unvecteur unitaireest un vecteur de norme 1. Le vecteur nul est de norme nulle,

|

|

0

|

|

=
0

=0

.
L’ angleque forment deux vecteurs

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

et

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

est noté

(

u

,

v

^

)

\displaystyle \scriptstyle (\widehat \vec u,\vec v)

. Il est défini comme l’angle que font deux représentants de même origine. Ainsi si ( A ,B ) est un représentant de

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

et ( A ,C ) un représentant de

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

, alors
Dans le planorienté , il est possible de définir la notion d’angle orienté de deux vecteurs. Ce n’est pas le cas dans l’espace.
Des constructions géométriques permettent la définition de l’ additionet de lamultiplication par un scalaire . Le nom donné aux opérations est la conséquence de la similarité avec les opérations sur les nombres ( commutativité ,associativitéetdistributivité , présence d’unélément neutreetabsorbant ). Pour cette raison, non seulement les noms des opérations mais les notations sont similaires.
Si

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

et

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

sont deux vecteurs, soit un couple ( A ,B ) de points représentant

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

etCle point tel que le couple ( B ,C ) représente le vecteur

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

. Alors un représentant du vecteur

u

+

v

\displaystyle \scriptstyle \vec u+\vec v

est le couple ( A ,C ). Si

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

est le vecteur nul, alors les pointsBetCsont confondus, la somme est alors égale à

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

et le vecteur nul est bien l’élément neutre pour l’addition des vecteurs. Soit α un nombre, si

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

est le vecteur nul, alors α.

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

est aussi le vecteur nul, sinon il existe une unique droite contenantAetB , et un unique pointCtel que la distance entreAetCsoit égale à

|

α

|

.

|

|

u

|

|

\displaystyle \scriptstyle

et le sens de ( A ,B ) si α est positif, relativement au sens de

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

, et l’inverse sinon.
Une fois équipée d’une structure d’espace vectoriel, les démonstrations de la géométrie euclidienne s’avèrent souvent simplifiées. Un exemple est donné par lethéorème de Thalès .
On ne trouve pas de vecteurs dans leséléments d’Euclide , mais les notions de point ou deparallélogramme , de l’approche esquissée ci-dessus y sont bien présentes. Mais l’axiomatisation des éléments n’est pas tout à fait satisfaisante, bien qu’elle ait été longtemps un modèle en la matière : certains axiomes restent implicites.David Hilberta montré comment axiomatiser rigoureusement le plan ou l’espace affine de façon géométrique (voir les articlesplan affine de Desarguesetaxiomes de Hilbert ). En utilisant le parallélisme, il est alors possible de définir lestranslationset leshomothéties , et en utilisant ces transformations, les vecteurs et les scalaires [ 31 ] . Cette approche est très générale : elle permet de traiter des cas utiles, où les scalaires ne sont pas forcément desréels , mais par exemple descomplexesou les éléments d’unensemble fini de nombres [ 31 ] . Elle se généralise également en dimension quelconque, au moins finie [ 31 ] .
Cependant le développement des mathématiques a élargi considérablement les domaines d’utilisation des vecteurs, et une approche plus algébrique est très largement utilisée. Elle est fondée sur deux ensembles : l’un contenant les scalaires, l’autre les vecteurs. Le deuxième est appeléespace vectoriel . Ces deux ensembles sont munis d’opérations et des axiomes sont vérifiés pour chacune des opérations. Cette construction différente pour formaliser le même concept de vecteur est celle qui est traitée dans l’article consacré auxespaces vectoriels . Elle est esquissée ci-dessous.
Dans un plan, deux vecteurs

a

\displaystyle \scriptstyle \vec a

et

b

\displaystyle \scriptstyle \vec b

non nuls et de directions différentes possèdent une propriété importante. Un vecteur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

quelconque est somme d’un multiple de

a

\displaystyle \scriptstyle \vec a

et d’un multiple de

b

\displaystyle \scriptstyle \vec b

. Cela signifie qu’il existe deux uniques nombresu 1etu 2tel que :

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

est alors qualifié decombinaison linéairede

a

\displaystyle \scriptstyle \vec a

et

b

\displaystyle \scriptstyle \vec b

. Comme tout vecteur du plan s’exprime de manière unique comme combinaison linéaire de

a

\displaystyle \scriptstyle \vec a

et

b

\displaystyle \scriptstyle \vec b

, lafamille(

a

\displaystyle \scriptstyle \vec a

,

b

\displaystyle \scriptstyle \vec b

) est qualifiée de base du plan etu 1 ,u 2sont appeléscomposantes [ 32 ]du vecteur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

dans cette base. Cette définition correspond à celle d’un plan affine muni d’unrepère . Une telle propriété est encore vraie dans l’espace. Cependant, deux vecteurs ne suffisent plus, toute base contient exactement trois vecteurs non nuls et dont les directions ne sont pascoplanaires(c’est-à-dire qu’il n’existe aucun plan contenant les trois directions). Si dans l’espace, les trois composantes d’un vecteur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

sontu 1 ,u 2etu 3 , il est d’usage de noter :
pour indiquer les composantes du vecteur. Le tableau est appelévecteur-colonneet correspond à un cas particulier dematrice . Les opérations algébriques sur les vecteurs sont simples, avec une telle représentation. Additionner deux vecteurs revient à additionner chacune des composantes et la multiplication par un scalaire revient à multiplier chaque composante par le scalaire.
Dans un plan vectoriel, un vecteur s’identifie à un couple de scalaires, et dans l’espace à un triplet. Si les nombres choisis sontréelsalors un plan (respectivement un espace) s’identifie à ℝ 2(respectivement à ℝ 3 ). Ici, ℝ désigne l’ensemble des nombres réels.
La logique précédente, appliquée pour une dimension égale à deux ou trois se généralise. Il est ainsi possible de considérer la structure ℝ nou de manière plus généraleK navecKun ensemble de scalaires possédant de bonnes propriétés (précisément,Kest uncorps commutatif ). Une telle structure possède uneaddition , et unemultiplication par un scalairedéfinies comme au paragraphe précédent.
Il est possible de généraliser encore la définition d’un vecteur. Si un ensembleEpossède une addition et une multiplication scalaire sur un corps commutatif et si ses opérations vérifient certaines propriétés, appelées axiomes et décrites dans l’article détaillé, alorsEest appeléespace vectorielet un élément deEvecteur.
De très nombreux exemples d’ensembles mathématiquement intéressants possèdent une telle structure. C’est le cas par exemple des espaces depolynômes , de fonctions vérifiant certaines propriétés de régularité, dematrices … Tous ces ensembles peuvent alors être étudiés avec les outils du calcul vectoriel et de l’ algèbre linéaire .
La notion dedimensionfournit le premier résultat de classification concernant les espaces vectoriels. Dans un espace vectoriel de dimension finien , il est possible, moyennant le choix d’une base, de se ramener au calcul sur des vecteurs colonnes de taillen . Il existe également des espaces vectoriels de dimension infinie. L’ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ est ainsi un espace vectoriel sur le corps des nombres réels, de dimension infinie. Vue sous cet angle, une telle fonction est un vecteur.
Si les deux constructions, algébrique et géométrique sont équivalentes pour les structures vectorielles du plan et de l’espace usuel, la géométrie apporte en plus les notions de distance et d’angle.
La notion deproduit scalairepermet de combler cette lacune. Un produit scalaire associe à deux vecteurs un réel. Si les deux vecteurs sont identiques le réel est positif. Il existe un produit scalaire tel que la norme du vecteur soit égale à laracine carréedu produit scalaire du vecteur avec lui-même. La géométrie euclidienne apparait alors comme l’étude d’unespace affinecomprenant un espace vectoriel de dimension deux ou trois sur le corps des réels, muni d’un produit scalaire : plan affine euclidien ou espace affine euclidien.
Une fois équipée d’un produit scalaire, il devient possible de définir sur l’espace vectoriel des transformations classiques de géométrie euclidienne comme lasymétrie , larotationou laprojection orthogonale . La transformation associée aux espaces vectoriels laisse toujours invariant le vecteur nul. Les rotations permettent de définir la notion d’angle pour les vecteurs. L’angle

(

u

,

v

^

)

\displaystyle \scriptstyle (\widehat \vec u,\vec v)

est égal à

(

u

,

v

^

)

\displaystyle \scriptstyle (\widehat \vec u’,\vec v’)

si et seulement s’il existe une rotation qui envoie

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

sur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u’

et

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

sur

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v’

. Cette définition, qui s’applique à une formalisation algébrique de la notion d’espace vectoriel, est équivalente à celle de la construction géométrique. Une telle approche simplifie parfois grandement les démonstrations, un exemple est lethéorème de Pythagore .
L’approche algébrique permet de définir toutes les notions de la géométrie euclidienne, elle généralise cette géométrie à une dimension quelconque si les nombres sont réels. Dans le cas desnombres complexesune construction analogue, appeléeespace hermitien , existe.
Leproduit scalairedans un système non orthonormé va faire apparaître deux types de projection (parallèle aux axes ou perpendiculairement) et donc deux types de coordonnées
En effectuant le produit scalaire d’un vecteur

x
=

x

i

e

i

\displaystyle x=x^ie_i

par le vecteur de base

e

j

\displaystyle e_j

, on obtient la composante covariante de ce vecteur

x
.

e

j

=
(

x

i

e

i

)
.

e

j

=

x

i

(

e

i

.

e

j

)

\displaystyle x.e_j=(x^ie_i).e_j=x^i(e_i.e_j)

x
.

e

j

=

x

i

.

g

i
j

=

x

j

\displaystyle x.e_j=x^i.g_ij=x_j

Avec

g

i
j

=

e

i

.

e

j

\displaystyle g_ij=e_i.e_j

, letenseurmétrique égal au produit scalaire des vecteurs de base (valant

δ

i
j

\displaystyle \delta ij

lorsque la base est orthonormée).
Les composantes contravariantes sont les composantes du vecteur telles que

x
=

x

i

e

i

\displaystyle x=x^ie_i

On note les composantes contravariantes par un indice supérieur, les composantes covariantes par un indice inférieur.
En multipliant les composantes contravariantes par le tenseur métrique, on obtient les composantes covariantes

x

i

g

i
j

=

x

j

\displaystyle x^ig_ij=x_j

Dans un système orthonormé les composantes covariantes et contravariantes sont identiques
Géométriquement pour un système quelconque, en projetant un vecteur

O
M

¯

\displaystyle \overline OM

parallèlement aux axes, on obtient 2 points M’ et Mdont les coordonnées par rapport aux vecteurs de base définissent les coordonnées contravariantes du vecteur

O
M

¯

=

x

1

e

1

+

x

2

e

2

\displaystyle \overline OM=x^1e_1+x^2e_2

.
En projetant le même vecteur

O
M

¯

\displaystyle \overline OM

perpendiculairement, on obtient 2 points m’ et mdont les coordonnées par rapport aux vecteurs de base définissent les coordonnées covariantes du vecteur [ 33 ]
Les exemples cités dans cet article sont relativement simples et didactiques. D’autres cas, plus généraux sont présentés dans les articlesthéorème spectraletalgèbre linéaire .
Une vaste partie des mathématiques utilise les vecteurs, en algèbre, en géométrie ou en analyse.
Un exemple archétypal en algèbre est la résolution d’unsystème d’équations linéaires . Un exemple de trois équations à troisinconnuescorrespond à la recherche des vecteurs de dimension trois,antécédentsd’uneapplication linéaired’un vecteur donné. Le plan euclidien ℝ 2peut aussi êtreidentifiéauplan complexeℂ. La base canonique est composée de deuxvecteurs unitaires  : l’unité des réels et l’ unité imaginaire .
Les vecteurs offrent un outil efficace pour la résolution de nombreux problèmes de géométrie. Ils sont utilisés pour la détermination de propriétés deparallélismeou d’ orthogonalitéde droites, plan ou segments. À travers l’utilisation descoordonnées barycentriques , les vecteurs forment un outil adapté pour caractériser le centre d’une figure géométrique et permettent une démonstration simple duthéorème de Leibniz , duthéorème de Cevacomme de nombreux résultats sur la géométrie du triangles. Le produit scalaire, qui s’exprime particulièrement simplement dans unebase orthonormée , offre de nombreuses possibilités. Il permet, par exemple, de mesurer la distance d’un point à une droite ou à un plan. Une telle base permet d’exprimer aussi simplement des transformations géométriques comme laprojection orthogonalesur un plan ou une droite.
L’analyse n’est pas en reste. L’espace vectoriel ℝ 2 , copie du plan euclidien est le cadre naturel de représentation dugraphe d’une fonction . Les vecteurs permettent par exemple de déterminer la droite perpendiculaire à une courbe en vue de déterminer les foyers d’uneconique . La représentation graphique offre une solution pour déterminer une approximation d’uneracined’uneéquationdans le cas où une résolution par une méthode algébrique n’est pas connue [ 34 ] .
Laphysiqueest à l’origine du terme de vecteur, elle utilise toujours largement ce concept. La raison historique provient du fait qu’enphysique classiquel’espace qui nous entoure est bien modélisé commeespace affine(géométrie euclidienne) de dimension trois avec le temps (absolu) comme paramètre d’évolution. En physique, une addition de vecteurs ne peut avoir de sens que si leurs coordonnées respectives ont la mêmedimension .
La position d’un point est décrite par des coordonnées dans un repère, mais sa vitesse et son accélération sont des vecteurs. Pour établir lamécanique du point , c’est-à-dire l’étude des mouvements d’un point matériel, les vecteurs sont indispensables. La position d’un point se modélise par ses trois coordonnées (qui sont des nombres réels) dont chacune est une fonction du temps ; on peut aussi la décrire par levecteur positionallant de l’origine du repère au point : les composantes du vecteur sont alors identifiables aux coordonnées du point. Le vecteurvitesseest égal à la dérivée du vecteur position (c’est-à-dire : les composantes du vecteur vitesse sont les dérivées de celles du vecteur position), et c’est encore un vecteur. Il en est de même pour l’ accélération , correspondant à la dérivée seconde.
Dans unréférentiel galiléen , l’accélération d’un point est proportionnelle à laforcequi lui est appliquée. Une force est équivalente à un vecteur. La trajectoire d’une planète est connue par la force qui lui est appliquée à chaque instant. Cette force est la conséquence de lagravitation , essentiellement due au Soleil. Ce phénomène est décrit par la donnée duchamp gravitationnel . Ce champ associe un vecteur proportionnel à la force de la gravitation à chaque point de l’espace.
Cette modélisation s’accommode plus difficilement de larelativité restreintedu fait que les changements de référentiels n’y dépendent pas linéairement de la vitesse, et elle ne concerne pas larelativité généralequi n’utilise pas d’espace euclidien (sauf pour des approximations). Enphysique quantiqueles coordonnées ne peuvent être celles d’une particule qu’en tenant compte duprincipe d’incertitude , et les forces sont dues à des échanges de particules.
Lesapplications linéairesd’un espace vectoriel dans un autre sont des fonctions respectant l’addition et la multiplication externe. Elles s’additionnent et se multiplient scalairement, et disposent donc des propriétés qui font d’elles des vecteurs. Il en est de même pour lesmatricesde format fixé, même si elles ne sont pas de type colonne : ces matrices forment toujours un espace vectoriel.
Les deux exemples précédents correspondent à des cas où la structure est enrichie par une multiplication interne. Elle porte le nom d’ algèbre , ses éléments sont appelés souvent vecteurs et parfois points. Des exemples sont données par l’ensemble des polynômes à coefficients réels ou encore unealgèbre de Lie .
Dans d’autres cas, la structure est appauvrie. Unmoduleest une structure analogue tel que les scalaires différents de zéro ne sont plus toujours inversibles. Le terme de vecteur est néanmoins toujours utilisé.
Une réorganisation et une clarification du contenu est nécessaire. Discutez des points à améliorer enpage de discussion .
Les lois établissant les mouvements d’un point s’appliquent aussi dans le cas d’unsolide , les calculs deviennent néanmoins plus complexes [pertinence contestée] . Si les vecteurs restent omniprésents, le point d’application de la force possède son importance. Selon sa position, le solide tourne en plus du déplacement de soncentre de gravité . Pour tenir compte de ce phénomène, de nouvelles définitions sont proposées. Unvecteur liéoupointeurest un couple composé d’un vecteur et d’un point appelépoint d’application . La rotation du solide est la conséquence d’une grandeur physique appelémoment . Elle ne dépend pas de la position du vecteur sur une droite donnée. Pour cette raison, unvecteur glissantest un couple composé d’un vecteur et d’une droite affine. Dans ce contexte, et pour éviter toute ambigüité, un vecteur au sens classique du terme est appelévecteur libre [ 35 ] .
Pour tenir compte à la fois de la rotation et du mouvement du centre de gravité, un être mathématique plus complexe est utilisé. Il porte le nom detorseur [ 36 ] . Il correspond à un vecteur de dimension six, trois composantes décrivent le déplacement du centre de gravité et les trois autres la rotation du solide. Les torseurs possèdent en plus une loi de composition spécifique. La physique utilise d’autres généralisations, on peut citer letenseurou lepseudovecteur .
L’informatique utilise le terme de vecteur, à la fois pour des raisons géométriques et algébriques. Le codage d’une image sur un écran d’ordinateur utilise au choix deux techniques :matricielleetvectorielle . La première utilise des éléments graphiques définis point par point. À chaquepixelest associé la quantité decouleurs primairescorrespondante. Si cette méthode est économique en termes de puissance de calcul, un agrandissement de la taille de l’image possède pour conséquence uneffet d’escalier .
Un dessin vectoriel est une représentation composée d’objets géométriques (lignes, points, polygones, courbes…) ayant des attributs de forme, de position, de couleur, etc. À la différence de la technique précédente, il s’agit d’une méthode plus coûteuse en termes de puissance de calcul mais dans laquelle l’effet d’escalier n’existe pas [ 37 ] .
Lareprésentation des données en informatique , pour les fonctions de mémoire ou de calcul, se fonde sur des tableaux d’ octets . Si un octet est identifié à un scalaire, ce qui se conçoit car deux octets s’additionnent et se multiplient, alors un tel tableau s’apparente à une famille de composantes vectorielles. Pour cette raison, un tel tableau est appelé vecteur. Par extension, le terme de vecteur désigne aussi des tableaux dont les composantes sont autre chose que des nombres, par exemple despointeursou des structures informatiques quelconques [ 38 ] .
( en )J. V. Field,The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance ,Oxford University Press , 1997( ISBN   0198523947 )

qu est ce qu un vecteur

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Historique

Quel lien existe-t-il entre tous ces points ?
Ce trajet peut-être représenté par une flèche comme sur le dessin suivant.
On peut répéter l’opération pour aller de E vers F ou de G vers H.
On dit que

A
B

\displaystyle \overrightarrow \rm AB

,

C
D

\displaystyle \overrightarrow \rm CD

,

E
F

\displaystyle \overrightarrow \rm EF

et

G
H

\displaystyle \overrightarrow \rm GH

sont desvecteurs .
Tous ces déplacements sont identiques. À chaque fois, on peut décrire le déplacement comme avancer de 4 cm en direction du nord-est. Seul le point de départ change.
En mathématiques, quand deux objets sont égaux on utilise le signe =.
Dans le cas de nos vecteurs, on peut donc écrire
Ces quatre vecteurs étant égaux, on va les désigner par une lettre unique, surmontée d’une flèche pour indiquer qu’il s’agit d’un déplacement :

u

\displaystyle \overrightarrow u

.
Ce vecteur

u

\displaystyle \overrightarrow u

se représente sur le dessin indépendamment de tous points, comme le déplacement qui permet d’aller de A vers B, de C vers D…
En langage courant, le vecteur

u

\displaystyle \overrightarrow u

peut se décrire comme avancer de 4 cm en direction du nord-est.
Dans cette phrase on peut distinguer trois éléments qui permettent de reproduire à coup sûr le déplacement :
Un vecteur du plan est défini par :
Ainsi

A
B

\displaystyle \overrightarrow \rm AB

désigne le vecteur :
On dit alors que A est l’origine du vecteur

A
B

\displaystyle \overrightarrow \rm AB

et B son extrémité.
Un vecteur étant défini par sa direction, son sens et sa longueur, on a :
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même longueur.
Il est un vecteur particulier, le vecteur nul. C’est le seul vecteur dont la longueur est nulle. Il est alors inutile de parler de sa direction et de son sens : si on avance ou recule de rien du tout, peu importe la direction choisie, on restera sur place.
On appellevecteur nulle vecteur dont la longueur est nulle, on le note

0

\displaystyle \overrightarrow 0

.
Quel que soit le point A,

A
A

=

0

\displaystyle \overrightarrow \rm AA=\overrightarrow 0

qu est ce qu un vecteur
Un article de Wikipédia, l’encyclopédie libre.
 Pour les articles homonymes, voirVecteur (homonymie) .
Deux vecteurs

u

\displaystyle \overrightarrow u

et

v

\displaystyle \overrightarrow v

et le vecteur somme.
Article détaillé :Espace vectoriel .
Les bipoints (A, B), (C, D), (E, F) sontéquipollents . Ils constituent trois représentants d’un même vecteur. En effet, les quadruplets de points ABFE et ABDC définissent deuxparallélogrammes .
Article détaillé :produit scalaire .
Article détaillé :Espace vectoriel .
 Cette section a besoin d’êtrerecyclée  (janvier 2015) .
Une réorganisation et une clarification du contenu sont nécessaires.Améliorez-leoudiscutez des points à améliorer .

↑ Ce problème provient duPapyrus Rhindétudié parSylvia Couchouddans son livreMathématiques égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique , éditions Le Léopard d’Or 2004( ISBN   978-2-863-77118-1 )
↑ Le texte d’Euclideest disponible en ligne surGallica . Une analyse est donnée dans R. Mankiewicz,L’histoire des mathématiques , Seuil, 2001( ISBN   2-02048-3068 )(cet ouvrage est généraliste et traite la période hellénistique et en particulier Euclide).
↑ ( en ) Joseph Needham ,Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth , Cambridge University Press, 1959( ISBN   0521058015 ) .
↑ ( en ) Jean-Claude Martzloff   (de) , « Chinese Mathematical Astronomy », dansH. Selin   (en)etU. D’Ambrosio   (en) ,Mathematics Across Cultures , Dordrecht, 2000,p.  373-407 ,DOI : 10.1007/978-94-011-4301-1_18 .
↑ ( en )U. Libbrecht,Chinese Mathematics in the Thirteenth Century : the Shu-shu Chiu-chang of Ch’in Chiu-shao , Cambridge, Mass.,MIT Press , 1973.
↑ Les informations sur les neuf chapitres ainsi qu’une version de ce texte se trouvent dansKarineChemlaet GuoShuchun ,Les neuf chapitres : Le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires [ détail de l’édition ](ce livre contient une traduction française avec des addenda détaillés et une édition commentée du texte chinois du livre et de son commentaire).
↑ ( en )R. Calinger,A Contextual History of Mathematics , Prentice Hall, New Jersey, 1999( ISBN   0-02318-2857 ) .
↑ Al-Hajjaj ibn Yusuf ibn Matartraduit lesÉlémentsauIX e  siècle(cf.( en ) J. L. Berggren   (de) ,Episodes in the Mathematics of Medieval Islam , Springer, 2003 ( 1 reéd. 1986),p.  70-71et100 ).
↑ ( en )K. Chemla, « Similarities between chineese and arabic mathematical writings : (I) root extraction »,Arabic Sciences and Philosophy   (en) , vol. 4,n o  2, 1994,p.  207-266 .
↑ ( en )A. R. Amir-Moez, « A Paper of Omar Khayyám »,Scripta Mathematica   (en) , vol. 26, 1963,p.  323-337 .
↑ Giulio Carlo ArganetRudolf Wittkower ,Architecture et perspective chez Brunelleschi et Alberti ,Verdier , 2004( ISBN   2-86432-4210 ) .
↑ ( la )Leon Battista Alberti,De pictura , 1435.
↑ Piero della Francesca,De la Perspective en Peinture , traduction du toscan duDe Prospectiva pingendi , introductions et notes. Avec une préface deHubert Damischet une postface deDaniel Arasse , Paris, In Medias Res, 1998.
↑ ( it )Giorgio Vasari,Le Vite de più eccellenti pittori, scultori e architettori (Les Vies des meilleurs peintres, sculpteurs et architectes) , 1550.
↑ ( it )Galileo Galilei,Discorsi e dimonstrazioni mathematiche intorno à due nuove scienze   (en) ,Elzevir ,Leyde , 1638.
↑ René Descartes,La Dioptrique , Hollande, 1637lire .
↑ René Descartes,La Géométrie , Hollande, 1637,lire p.  1 .
↑ ( la )Isaac Newton,Philosophiae Naturalis Principia Mathematica , S. Pepys, Londres, 1687.
↑ ( en )J. Simpson et E. Weiner,TheOxford English Dictionary : 20 Volume Set , Clarendon Press, Oxford, 1989( ISBN   0-300-08919-8 ) .
↑ ( en ) John Harris ,Lexicon Technicum   (en) , Londres, 1704.
↑ Pierre-Simon de Laplace,Traité de mécanique céleste ,Gauthier-Villars , 1799 et 1825lire .
↑ TLFI ,Étymologie de « vecteur » .
↑ ( de )Bernard Bolzano,Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie ,1804 .
↑ Jean-Victor Poncelet,Traité des Propriétés Projectives des Figures ,1822 , rééd. Jacques Gabay, Paris, 1995.
↑ Michel Chasles,Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie , Hayez, Bruxelles,1837 .
↑ ( de )August Ferdinand Möbius,Der barycentrische Calcül : ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie , Leipzig,1827 .
↑ ( it )Giusto Bellavitis, « Saggio di applicazione di un nuovo metodo di geometria analitica »,Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto , vol. 5,1835 ,p.  244-259 .
↑ ( en ) Thomas L. Hankins   (de) ,Sir William Rowan Hamilton , Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1980.
↑ Traduction libre de( en )William Rowan Hamilton,Lectures on Quaternions , 1853, Lecture 1, art. 17,p.  17 .
↑ Droites et plans dans l’espaceCours de Terminale par A. Turbergue.
↑a ,betc Emil Artin ,Algèbre géométrique ,Calmann-Lévy , chap. II.
↑ A la place de l’appellation « composantes » certains emploient aussi  » coordonnées « , mais ce dernier terme empêche la différentiation entre l’unicité de la localisation despoints , qui sont « fixes » dans unrepère , et l’aspect « glissant » des composantes vectorielles, dû à la nature declasse d’équivalenceet la multiplicités des représentants de chaque vecteur. Cf.StellaBaruk ,Dictionnaire de mathématiques élémentaires [ détail des éditions ] .
↑ Jean Hladik et Pierre-Emmanuel Hladik,Le calcul tensoriel en physique ,3 eéd., Dunod, Paris, 1999,p.  16-17 .
↑ Ces divers exemples sont essentiellement issus des programmes de mathématiques du secondaireLe B.O.n o  4 2001 mathématiques hors sériepage 69 pour la terminale etLe B.O.n o  2 2001 mathématiques hors sériepage 34 pour la seconde.
↑ Le siteMathématiques pour la Physique et la Chimieréalisé parUniversité en lignepropose un exposé des définitions du paragraphe.
↑ Torseur – Un cours minimalGénéralisations de la notion de vecteur pour la physique, par Yannick Remion, IUT Léonard-de-Vinci de Reims, 1995.
↑ Comprendre l’image numérique: vectorielle et bitmap …sur le site Cuk, 2004.
↑ Memory as Vectorstiré de( en )H. Abelson, G. J. Sussman et J. SussmanStructure and Interpretation of Computer Programs ,2 eéd.,MIT Press , 1996,( ISBN   0262011530 )(ce livre est disponible sur leWeb . Il traite des aspects théoriques de la programmation et des structures vectorielles de stockage des informations).

Ce texte montre comment les artistes de laRenaissanceproduisent des mathématiques qui non seulement révolutionnent leur métier, mais contribuent aussi auxmathématiques pures .
Ce texte est un ouvrage didactique sur les bases de la géométrie avec quelques éléments relatifs à l’histoire.
Ce petit livre de 89 pages présente la géométrie projective. Il est disponible sur le net.
Ce livre de géométrie commence simplement. Il couvre ensuite l’utilisation d’outils plus sophistiqués comme les formes quadratiques. Il contient un Appendice historique.
Ce livre s’adresse essentiellement aux élèves de la seconde à la terminale, ainsi qu’à leur professeur. Il propose des exercices sur lethéorème de Thalès , laprojection orthogonale , l’ homothétie , lasymétrieet larotation , lecalcul barycentrique , leproduit scalaire , ou encore la notion d’ angle .
Ce livre traite de géométrie élémentaire au programme du CAPES. Il contient plus de 600 figures géométriques et couvre la géométrie affine euclidienne ainsi que l’algèbre linéaire élémentaire.
Ce livre est un cours de physique a l’usage de la licence, il couvre les notions de torseur, vecteur lié, glissant et libre.
Ce livre traite à la fois des aspects pratiques comme la force et la faiblesse des différentes techniques, des différents logiciels et formats disponibles sur les marchés et des aspects théoriques
Cet article est reconnu comme «  bon article  » depuis saversion du 12 février 2008 ( comparer avec la version actuelle ) .
Pour toute information complémentaire, consulter sapage de discussionet levote l’ayant promu .
La version du 12 février 2008 de cet article a été reconnue comme «  bon article  », c’est-à-dire qu’elle répond à des critères de qualité concernant le style, la clarté, la pertinence, la citation des sources et l’illustration.
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Enmathématiques , unvecteurest un objet généralisant plusieurs notions provenant de la géométrie (couples de points,translations , etc.), de l’algèbre (« solution » d’unsystème d’équationsà plusieurs inconnues), ou de la physique ( forces ,vitesses ,accélérations , etc.).
Rigoureusementaxiomatisée , la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques appeléealgèbre linéaire . À ce sens, un vecteur est un élément d’unespace vectoriel , ce qui permet d’effectuer des opérations d’ additionet demultiplication par un scalaire . Unn-upletpeut constituer un exemple de vecteur, à condition qu’il appartienne à un ensemble muni des opérations adéquates.
On représente fréquemment les vecteurs comme de simples n-uplets ou, graphiquement, dans le cas particulier des espaces à 1, 2 ou 3 dimensions, par des flèches : cette représentation est issue de la combinaison des notions de couple de points de lagéométrie euclidienne(qui permettent de définir les distances, mais aussi ladirectionet le sens), et des possibilités de calcul offertes par l’ algèbre  ; cela permet de donner un sens à des vecteurs définis en dimension deux (le plan), trois (l’espace euclidien usuel), mais plus généralement dans des espaces dedimensionquelconque.
En physique, les vecteurs sont grandement utilisés, ils permettent de modéliser desgrandeurscomme uneforce , unevitesse , uneaccélération , unequantité de mouvementou certainschamps( électrique ,magnétique ,gravitationnel …). Une grandeur vectorielle s’oppose à unegrandeur scalaire  : la grandeur scalaire a uniquement une valeur mais pas de direction ou de sens.
Ces notions de champs, et les opérateurs permettant de les calculer, ont amené à définir, enalgèbre multilinéaire , la notion dechamp vectoriel , c’est-à-dire unefonctionde ℝ ndans ℝ n . Ainsi, par exemple, résoudre uneéquation différentielle , c’est déterminer les courbes auxquelles sont tangents les vecteurs du champ.
Plus généralement encore, les vecteurs sont des cas particuliers detenseurs(ils s’identifient aux tenseurs d’ordre un). Les tenseurs d’ordre deux sont représentés par desmatriceset les matrices d’uneapplication linéairetransformant les vecteurs enforme linéaireconstituent une forme particulière de vecteurs, appelées aussibivecteurs .
La notion de vecteur est le fruit d’une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans. Deux familles d’idées, d’abord distinctes, sont à l’origine de la formalisation. L’une d’elle est lagéométrie , traitant delongueurs , d’ angleset de mesures desurfaceset devolumes . L’autre correspond à l’ algèbre , qui traite desnombres , de l’ additionou lamultiplicationet plus généralement d’ensembles munis d’opérations. Un vieux problème d’algèbre nous vient par exemple desÉgyptienset s’exprime de la manière suivante :« On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun [ 1 ]  ? »Ces deux familles d’idées sont développées indépendamment, pour finir par converger vers la notion de vecteur.
Lacivilisation grecquedéveloppe la géométrie à un niveau inégalé à cette époque. L’un des fleurons est le traité nommélesÉléments d’Euclide , datant duIII e  siècleav. J.-C. . Il contient la formalisation, très rigoureuse pour l’époque, d’une géométrie, encore maintenant appeléeeuclidienne . On y trouve les définitions d’unedroite , d’unplanou de notre espace physique dedimensiontrois permettant de modéliser des volumes. Les propriétés desdistances , des angles, des mesures de surfaces et de volumes sont étudiées. Les théorèmes fondateurs, comme ceux appelésThalèsouPythagore , sont explicités et démontrés.
L’algèbre y est peu développée et contient essentiellement de l’ arithmétique . Les nombresentiersetrationnelssont étudiés ainsi que quelquesirrationnels , c’est-à-dire les nombres qui ne s’écrivent pas sous forme d’une fraction d’entiers [ 2 ] . Les nombres sont toujoursstrictement positifs .
LaChinedéveloppe les premières idées algébriques à l’origine des vecteurs. Un vieux texte, datant probablement duI er  siècleav. J.-C. [ 3 ]  :les Neuf Chapitres sur l’art mathématiquey consacre sa huitième partie. Elle s’intituleFang chengouDisposition rectangulaireet traite d’un problème maintenant appelésystème d’équations linéaires . Cette culture n’en reste pas là,Qin Jiushao ( 1202-1261 )généralise cette étude à des nombres différents des entiers ou rationnels. Il utilise lescongruences , inaugurant une démarche consistant à définir des vecteurs sur des ensembles de nombres exotiques. Il peut ainsi résoudre des problèmes liés au calendrier et aux alignements de planètes avec une très grande précision [ 4 ] . La méthode utilisée ne sera connue qu’auXIX e  siècleen Occident, sous le nom depivot de Gauss . Ce résultat est suffisamment étonnant pour queUlrich Libbrecht   (en)précise que :« Nous ne devrions pas sous-estimer la percée révolutionnaire de Qin, en effet, depuis lethéorème des restes chinoisdeSun Zi , on passe sans intermédiaire à unalgorithmeplus avancé que la méthode de Gauss elle-même, et il n’y a pas la moindre indication d’une évolution graduelle [ 5 ] . »
L’aspect géométrique n’échappe pas aux mathématiciens chinois. Le dernier chapitre, leGou gucomporte un équivalent du théorème de Thalès et de Pythagore [ 6 ] .
L’existence d’un lien entre ce que l’on appelle maintenant l’algèbre et la géométrie est ancienne. LesBabyloniensconnaissaient déjà la propriété algébrique de la diagonale d’un carré de côté de longueurun , à savoir que son carré est égal àdeux . Ils savaient de plus calculer cette valeur avec une remarquable précision [ 7 ] . Ce lien est aussi connu des Grecs et des Chinois.
Il faut cependant attendre lacivilisation arabepour observer un progrès significatif. Leurs mathématiciens connaissaient les travaux des Grecs, particulièrement ceux d’ Euclide [ 8 ] . Les notations utilisées laissent penser qu’ils avaient aussi accès à des travaux des premiers mathématiciens chinois [ 9 ] . Le progrès déterminant consiste à associer au plan géométrique descoordonnées .Omar Khayyam ( 1048-1131 )cherche les solutions d’un problème purement algébrique : trouver lesracinesd’unpolynômedu troisième degré. Un système de coordonnées lui permet de visualiser ces racines comme lesabscissesdes intersections d’uneparaboleet d’unehyperbole [ 10 ] .
Le système des coordonnées est repris en Europe. La volonté de maitriser la perspective pousse les peintres italiens à étudier les mathématiques.Filippo Brunelleschi ( 1377-1446 )découvre les lois de la perspective, issues d’une projection centrale [ 11 ] . Ces résultats sont formalisés [ 12 ]parLeon Battista Alberti ( 1404-1472 ) . Les théoriciens de la perspective disposent de multiples talents. AinsiPiero della Francesca ( vers 1412-1492 ) , auteur d’un traité sur la question [ 13 ] , est à la fois peintre et mathématicien.Giorgio Vasari ( 1511-1574 )indique, à propos de ses talents de géomètre « il ne fut inférieur à personne de son époque et peut-être de tout temps [ 14 ]  ».
La physique est le moteur suivant de la convergence entre géométrie et algèbre. En1604 ,Galileo Galilei ( 1564-1642 )établit [ 15 ]la loi de la chute des corps. Les illustrations de ses notes montrent l’utilisation d’un repère. L’optique est la branche qui aboutit au progrès le plus marquant.Pierre de Fermat ( 1601-1665 ) , qui connaissait les écrits de Galilée, etRené Descartes ( 1596-1650 )s’écrivent des lettres au sujet de la dioptrique (la manière dont la lumière se réfléchit sur un miroir) et à laréfraction(la déviation d’un rayon lumineux quand il change de milieu, par exemple en passant de l’air à l’eau) [ 16 ] . Ils arrivent à la conclusion qu’unrepèreest une méthode systématique permettant d’appréhendertousles problèmes de géométrie euclidienne. Ces résultats sont consignés dans un traité de Descartes [ 17 ] . Il écrit en introduction : « Comment le calcul d’arithmétique se rapporte aux opérations de géométrie ». Pour Descartes, calcul d’arithmétique signifie approximativement ce qui est maintenant appelé algèbre. Cette approche est particulièrement féconde pour l’étude d’une branche naissante des mathématiques : lagéométrie analytique . Un exemple est donné par l’étude de lacycloïde . Cette courbe décrit la trajectoire d’un point de la surface d’une roue se déplaçant sans glissement sur un sol horizontal.
Isaac Newton ( 1643-1727 )développe [ 18 ]la géométrie analytique et l’utilise enastronomie . Cette application est l’origine [ 19 ]de l’utilisation du terme vecteur. En1704 , un dictionnaire technique anglais indique :
« Une ligne dessinée depuis une planète, se déplaçant autour d’un centre ou du foyer d’une ellipse, jusqu’à ce centre ou ce foyer, est appelé Vecteur par quelques auteurs de la Nouvelle Astronomie, car cette ligne semble porter la planète autour du centre [ 20 ] . »
Ce terme apparait en français sous la plume dePierre-Simon de Laplace ( 1749-1827 )dans l’expressionrayon vecteur [ 21 ] , encore dans un contexte astronomique. Il vient du latinvectorprovenant lui-même du verbeveherequi veut dire transporter [ 22 ] . Pour les romains, le motvectordésignait aussi bien le passager que le conducteur d’un bateau ou d’un chariot. Les mots français véhicule, voiture, mais aussi invective proviennent de cette même racine latine. Son origine est plus ancienne, elle provient de l’ indo-européen*VAG, ou *VAGH et signifie chariot.
Ainsi, auXVII e  siècle , le contexte géométrique et algébrique du vecteur est présent. En revanche, aucune formalisation n’est proposée et le terme, s’il est utilisé, désigne encore unegrandeur scalaire .
La première formalisation des vecteurs est le fruit d’un travail de plusieurs mathématiciens durant la première moitié duXIX e  siècle .Bernard Bolzanopublie un livre élémentaire [ 23 ]contenant une construction axiomatique de la géométrie analogue à celle d’Euclide, fondée sur des points, droites et plans. Il adjoint les opérations algébriques d’addition et de multiplication. Lagéométrie projective , héritière du travail sur la perspective des peintres de la renaissance italienne, conduitJean-Victor PonceletetMichel Chaslesà affiner [ 24 ] , [ 25 ]les travaux de Bolzano.August Ferdinand Möbiusapporte sa pierre à l’édifice en développant le système decoordonnées barycentriques [ 26 ] . Enfin, la formalisation encore actuellement enseignée, à partir des notions de bipoint et d’ équipollence , est l’œuvre [ 27 ]deGiusto Bellavitis .
Une autre voie est explorée, purement algébrique.William Rowan Hamiltonremarque que lesnombres complexesreprésentent un plan euclidien. Il passe dix ans de sa vie [ 28 ]à chercher un équivalent en dimension trois, et finit par trouver le corps desquaternions , de dimension quatre en1843 . Il propose deux nouvelles définitions pour les mots « vecteur » et « scalaire ». Un vecteur est pour lui un élément d’un sous-ensemble des quarternions, de dimension trois. Il écrit :
« Unvecteurest donc […] une sorte detriplet naturel(suggéré par la géométrie) : et en conséquence nous verrons que lesquaternionsoffrent une représentation symbolique simple de tout vecteur sous forme trinomiale ( ix+jy+kz ) ; ce qui ramène la conception et l’expression d’un tel vecteur à la forme la plus proche possible de celle obtenue avec les coordonnées cartésiennes et rectangulaires [ 29 ] . »
En 1878, dansÉléments de dynamique William Kingdon Cliffordreprendra en la simplifiant la notion de quaternions. Il introduit en particulier leproduit scalaireet leproduit vectorielde deux vecteurs. Cette approche permit d’utiliser les vecteurs d’une manière plus calculatoire.
Cette deuxième voie, qui donne pour la première fois une signification analogue aux formalisations modernes de la notion de vecteur, est ensuite précisée et enrichie. Elle consiste maintenant à définir un vecteur comme un élément d’un espace vectoriel.
Lagéométrie euclidienneest la géométrie du plan ou de l’espace fondée sur lesaxiomes d’Euclide . Les notions depoint , dedroite , delongueur , sont introduits par le biais d’axiomes. Le vecteur est alors un objet géométrique construit à partir des précédents.
Une visualisation intuitive d’un vecteur correspond à undéplacementd’un point, ou pour utiliser le terme mathématique précis, unetranslation . Ainsi un vecteur possède une longueur, la distance entre le point de départ et d’arrivée, une direction si le déplacement n’est pas nul, c’est la droite contenant le point de départ et d’arrivée et un sens, depuis le départ jusqu’à l’arrivée.
Un vecteur est représenté par un segment orienté (une flèche) ayant pour extrémités un point de départ et un point d’arrivée. L’emplacement dans le plan ou l’espace n’a pas d’importance, deux déplacements de deux points d’origine distincts peuvent correspondre au même vecteur, seuls comptent sa longueur, sadirectionet son sens. Il est donc possible de le faire glisser librement dans le plan, parallèlement à lui-même. SiAetBsont deux points distincts, le vecteur

A
B

\displaystyle \scriptstyle \overrightarrow AB

possède trois éléments caractéristiques :
Attention cependant à ne pas confondre sens et direction. En effet, dans le langage courant, lorsqu’on se trouve sur une route entre Paris et Versailles et que l’on dit que l’on va dans la direction de Versailles, on se rapproche de cette dernière ville. Mais dans le langage mathématique, la direction est portée par la route (direction Paris-Versailles) sans savoir si l’on va de Versailles vers Paris ou de Paris vers Versailles. Pour savoir vers quelle ville on se dirige, il faudra aussi donner le sens : le sens Paris-Versailles par exemple pour indiquer que l’on va de Paris vers Versailles.
Une définition formelle utilise au préalable la notion debipoint . Il est défini comme uncouplede points. L’ordre a une importance : le premier point est appeléorigine . Deux bipoints ( A ,B ) et ( C ,D ) sont ditséquipollentslorsque les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. La relation d’équipollence constitue unerelation d’équivalencesur les bipoints. Une classe d’équivalence contient tous les bipoints dont le deuxième membre est l’ imagedu premier point par le déplacement.
La classe d’équivalence d’un bipoint ( A ,B ) est appelée vecteur et est notée

A
B

\displaystyle \scriptstyle \overrightarrow AB

. Le bipoint ( A ,B ) en est un représentant. Réciproquement, tout vecteur admet plusieurs bipoints représentants, dont aucun n’est privilégié. Si une origine est choisie, il existe un unique bipoint représentant un vecteur donné.
Si les vecteurs peuvent être déplacés dans le plan, quant à eux, les points ne le sont pas. Ces derniers restent fixes. L’intérêt d’avoir un représentant d’un vecteur est d’obtenir parmi les bipoints équipollents un seul dont l’origine ou l’extrémité est fixée une fois pour toutes.
Ainsi deux bipoints ( A ,B ) et ( C ,D ) sont équipollents si et seulement s’ils représentent le même vecteur et on peut alors écrire l’égalité
Tous les bipoints constitués de la répétition d’un même point : ( A ,A ), sont équipollents entre eux, ils sont les représentants d’un vecteur qualifié denul . Il est noté
Cet unique vecteur possède la propriété particulière d’avoir son origine et son extrémité confondues. Ce vecteur sera alors le seul à être représenté comme un point. Un vecteur représente un déplacement. Mais dans un vecteur nul, l’extrémité et l’origine étant confondues, il n’y a aucun déplacement. Cela veut donc dire l’absence de déplacement est considérée comme un déplacement.
Les théories présentant les vecteurs comme une classe d’équivalence de bipoints les notent en général par une lettre surmontée d’une flèche [ 30 ] .
La longueur d’un bipoint(A, B)est définie comme la longueur du segment sous-jacent. Deux bipoints équipollents ont la même longueur. Tous les représentants d’un vecteur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

ont donc la même longueur, qui est appeléenorme(oumodule ) du vecteur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

et notée en général

|

|

u

|

|

(on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exempleuouAB ). Unvecteur unitaireest un vecteur de norme 1. Le vecteur nul est de norme nulle,

|

|

0

|

|

=
0

=0

.
L’ angleque forment deux vecteurs

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

et

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

est noté

(

u

,

v

^

)

\displaystyle \scriptstyle (\widehat \vec u,\vec v)

. Il est défini comme l’angle que font deux représentants de même origine. Ainsi si ( A ,B ) est un représentant de

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

et ( A ,C ) un représentant de

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

, alors
Dans le planorienté , il est possible de définir la notion d’angle orienté de deux vecteurs. Ce n’est pas le cas dans l’espace.
Des constructions géométriques permettent la définition de l’ additionet de lamultiplication par un scalaire . Le nom donné aux opérations est la conséquence de la similarité avec les opérations sur les nombres ( commutativité ,associativitéetdistributivité , présence d’unélément neutreetabsorbant ). Pour cette raison, non seulement les noms des opérations mais les notations sont similaires.
Si

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

et

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

sont deux vecteurs, soit un couple ( A ,B ) de points représentant

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

etCle point tel que le couple ( B ,C ) représente le vecteur

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

. Alors un représentant du vecteur

u

+

v

\displaystyle \scriptstyle \vec u+\vec v

est le couple ( A ,C ). Si

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

est le vecteur nul, alors les pointsBetCsont confondus, la somme est alors égale à

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

et le vecteur nul est bien l’élément neutre pour l’addition des vecteurs. Soit α un nombre, si

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

est le vecteur nul, alors α.

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

est aussi le vecteur nul, sinon il existe une unique droite contenantAetB , et un unique pointCtel que la distance entreAetCsoit égale à

|

α

|

.

|

|

u

|

|

\vec u

et le sens de ( A ,B ) si α est positif, relativement au sens de

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

, et l’inverse sinon.
Une fois équipée d’une structure d’espace vectoriel, les démonstrations de la géométrie euclidienne s’avèrent souvent simplifiées. Un exemple est donné par lethéorème de Thalès .
On ne trouve pas de vecteurs dans leséléments d’Euclide , mais les notions de point ou deparallélogramme , de l’approche esquissée ci-dessus y sont bien présentes. Mais l’axiomatisation des éléments n’est pas tout à fait satisfaisante, bien qu’elle ait été longtemps un modèle en la matière : certains axiomes restent implicites.David Hilberta montré comment axiomatiser rigoureusement le plan ou l’espace affine de façon géométrique (voir les articlesplan affine de Desarguesetaxiomes de Hilbert ). En utilisant le parallélisme, il est alors possible de définir lestranslationset leshomothéties , et en utilisant ces transformations, les vecteurs et les scalaires [ 31 ] . Cette approche est très générale : elle permet de traiter des cas utiles, où les scalaires ne sont pas forcément desréels , mais par exemple descomplexesou les éléments d’unensemble fini de nombres [ 31 ] . Elle se généralise également en dimension quelconque, au moins finie [ 31 ] .
Cependant le développement des mathématiques a élargi considérablement les domaines d’utilisation des vecteurs, et une approche plus algébrique est très largement utilisée. Elle est fondée sur deux ensembles : l’un contenant les scalaires, l’autre les vecteurs. Le deuxième est appeléespace vectoriel . Ces deux ensembles sont munis d’opérations et des axiomes sont vérifiés pour chacune des opérations. Cette construction différente pour formaliser le même concept de vecteur est celle qui est traitée dans l’article consacré auxespaces vectoriels . Elle est esquissée ci-dessous.
Dans un plan, deux vecteurs

a

\displaystyle \scriptstyle \vec a

et

b

\displaystyle \scriptstyle \vec b

non nuls et de directions différentes possèdent une propriété importante. Un vecteur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

quelconque est somme d’un multiple de

a

\displaystyle \scriptstyle \vec a

et d’un multiple de

b

\displaystyle \scriptstyle \vec b

. Cela signifie qu’il existe deux uniques nombresu 1etu 2tel que :

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

est alors qualifié decombinaison linéairede

a

\displaystyle \scriptstyle \vec a

et

b

\displaystyle \scriptstyle \vec b

. Comme tout vecteur du plan s’exprime de manière unique comme combinaison linéaire de

a

\displaystyle \scriptstyle \vec a

et

b

\displaystyle \scriptstyle \vec b

, lafamille(

a

\displaystyle \scriptstyle \vec a

,

b

\displaystyle \scriptstyle \vec b

) est qualifiée de base du plan etu 1 ,u 2sont appeléscomposantes [ 32 ]du vecteur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

dans cette base. Cette définition correspond à celle d’un plan affine muni d’unrepère . Une telle propriété est encore vraie dans l’espace. Cependant, deux vecteurs ne suffisent plus, toute base contient exactement trois vecteurs non nuls et dont les directions ne sont pascoplanaires(c’est-à-dire qu’il n’existe aucun plan contenant les trois directions). Si dans l’espace, les trois composantes d’un vecteur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

sontu 1 ,u 2etu 3 , il est d’usage de noter :
pour indiquer les composantes du vecteur. Le tableau est appelévecteur-colonneet correspond à un cas particulier dematrice . Les opérations algébriques sur les vecteurs sont simples, avec une telle représentation. Additionner deux vecteurs revient à additionner chacune des composantes et la multiplication par un scalaire revient à multiplier chaque composante par le scalaire.
Dans un plan vectoriel, un vecteur s’identifie à un couple de scalaires, et dans l’espace à un triplet. Si les nombres choisis sontréelsalors un plan (respectivement un espace) s’identifie à ℝ 2(respectivement à ℝ 3 ). Ici, ℝ désigne l’ensemble des nombres réels.
La logique précédente, appliquée pour une dimension égale à deux ou trois se généralise. Il est ainsi possible de considérer la structure ℝ nou de manière plus généraleK navecKun ensemble de scalaires possédant de bonnes propriétés (précisément,Kest uncorps commutatif ). Une telle structure possède uneaddition , et unemultiplication par un scalairedéfinies comme au paragraphe précédent.
Il est possible de généraliser encore la définition d’un vecteur. Si un ensembleEpossède une addition et une multiplication scalaire sur un corps commutatif et si ses opérations vérifient certaines propriétés, appelées axiomes et décrites dans l’article détaillé, alorsEest appeléespace vectorielet un élément deEvecteur.
De très nombreux exemples d’ensembles mathématiquement intéressants possèdent une telle structure. C’est le cas par exemple des espaces depolynômes , de fonctions vérifiant certaines propriétés de régularité, dematrices … Tous ces ensembles peuvent alors être étudiés avec les outils du calcul vectoriel et de l’ algèbre linéaire .
La notion dedimensionfournit le premier résultat de classification concernant les espaces vectoriels. Dans un espace vectoriel de dimension finien , il est possible, moyennant le choix d’une base, de se ramener au calcul sur des vecteurs colonnes de taillen . Il existe également des espaces vectoriels de dimension infinie. L’ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ est ainsi un espace vectoriel sur le corps des nombres réels, de dimension infinie. Vue sous cet angle, une telle fonction est un vecteur.
Si les deux constructions, algébrique et géométrique sont équivalentes pour les structures vectorielles du plan et de l’espace usuel, la géométrie apporte en plus les notions de distance et d’angle.
La notion deproduit scalairepermet de combler cette lacune. Un produit scalaire associe à deux vecteurs un réel. Si les deux vecteurs sont identiques le réel est positif. Il existe un produit scalaire tel que la norme du vecteur soit égale à laracine carréedu produit scalaire du vecteur avec lui-même. La géométrie euclidienne apparait alors comme l’étude d’unespace affinecomprenant un espace vectoriel de dimension deux ou trois sur le corps des réels, muni d’un produit scalaire : plan affine euclidien ou espace affine euclidien.
Une fois équipée d’un produit scalaire, il devient possible de définir sur l’espace vectoriel des transformations classiques de géométrie euclidienne comme lasymétrie , larotationou laprojection orthogonale . La transformation associée aux espaces vectoriels laisse toujours invariant le vecteur nul. Les rotations permettent de définir la notion d’angle pour les vecteurs. L’angle

(

u

,

v

^

)

\displaystyle \scriptstyle (\widehat \vec u,\vec v)

est égal à

(

u

,

v

^

)

\displaystyle \scriptstyle (\widehat \vec u’,\vec v’)

si et seulement s’il existe une rotation qui envoie

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u

sur

u

\displaystyle \scriptstyle \vec u’

et

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v

sur

v

\displaystyle \scriptstyle \vec v’

. Cette définition, qui s’applique à une formalisation algébrique de la notion d’espace vectoriel, est équivalente à celle de la construction géométrique. Une telle approche simplifie parfois grandement les démonstrations, un exemple est lethéorème de Pythagore .
L’approche algébrique permet de définir toutes les notions de la géométrie euclidienne, elle généralise cette géométrie à une dimension quelconque si les nombres sont réels. Dans le cas desnombres complexesune construction analogue, appeléeespace hermitien , existe.
Leproduit scalairedans un système non orthonormé va faire apparaître deux types de projection (parallèle aux axes ou perpendiculairement) et donc deux types de coordonnées
En effectuant le produit scalaire d’un vecteur

x
=

x

i

e

i

\displaystyle x=x^ie_i

par le vecteur de base

e

j

\displaystyle e_j

, on obtient la composante covariante de ce vecteur

x
.

e

j

=
(

x

i

e

i

)
.

e

j

=

x

i

(

e

i

.

e

j

)

\displaystyle x.e_j=(x^ie_i).e_j=x^i(e_i.e_j)

x
.

e

j

=

x

i

.

g

i
j

=

x

j

\displaystyle x.e_j=x^i.g_ij=x_j

Avec

g

i
j

=

e

i

.

e

j

\displaystyle g_ij=e_i.e_j

, letenseurmétrique égal au produit scalaire des vecteurs de base (valant

δ

i
j

\displaystyle \delta ij

lorsque la base est orthonormée).
Les composantes contravariantes sont les composantes du vecteur telles que

x
=

x

i

e

i

\displaystyle x=x^ie_i

On note les composantes contravariantes par un indice supérieur, les composantes covariantes par un indice inférieur.
En multipliant les composantes contravariantes par le tenseur métrique, on obtient les composantes covariantes

x

i

g

i
j

=

x

j

\displaystyle x^ig_ij=x_j

Dans un système orthonormé les composantes covariantes et contravariantes sont identiques
Géométriquement pour un système quelconque, en projetant un vecteur

O
M

¯

\displaystyle \overline OM

parallèlement aux axes, on obtient 2 points M’ et Mdont les coordonnées par rapport aux vecteurs de base définissent les coordonnées contravariantes du vecteur

O
M

¯

=

x

1

e

1

+

x

2

e

2

\displaystyle \overline OM=x^1e_1+x^2e_2

.
En projetant le même vecteur

O
M

¯

\displaystyle \overline OM

perpendiculairement, on obtient 2 points m’ et mdont les coordonnées par rapport aux vecteurs de base définissent les coordonnées covariantes du vecteur [ 33 ]
Les exemples cités dans cet article sont relativement simples et didactiques. D’autres cas, plus généraux sont présentés dans les articlesthéorème spectraletalgèbre linéaire .
Une vaste partie des mathématiques utilise les vecteurs, en algèbre, en géométrie ou en analyse.
Un exemple archétypal en algèbre est la résolution d’unsystème d’équations linéaires . Un exemple de trois équations à troisinconnuescorrespond à la recherche des vecteurs de dimension trois,antécédentsd’uneapplication linéaired’un vecteur donné. Le plan euclidien ℝ 2peut aussi êtreidentifiéauplan complexeℂ. La base canonique est composée de deuxvecteurs unitaires  : l’unité des réels et l’ unité imaginaire .
Les vecteurs offrent un outil efficace pour la résolution de nombreux problèmes de géométrie. Ils sont utilisés pour la détermination de propriétés deparallélismeou d’ orthogonalitéde droites, plan ou segments. À travers l’utilisation descoordonnées barycentriques , les vecteurs forment un outil adapté pour caractériser le centre d’une figure géométrique et permettent une démonstration simple duthéorème de Leibniz , duthéorème de Cevacomme de nombreux résultats sur la géométrie du triangles. Le produit scalaire, qui s’exprime particulièrement simplement dans unebase orthonormée , offre de nombreuses possibilités. Il permet, par exemple, de mesurer la distance d’un point à une droite ou à un plan. Une telle base permet d’exprimer aussi simplement des transformations géométriques comme laprojection orthogonalesur un plan ou une droite.
L’analyse n’est pas en reste. L’espace vectoriel ℝ 2 , copie du plan euclidien est le cadre naturel de représentation dugraphe d’une fonction . Les vecteurs permettent par exemple de déterminer la droite perpendiculaire à une courbe en vue de déterminer les foyers d’uneconique . La représentation graphique offre une solution pour déterminer une approximation d’uneracined’uneéquationdans le cas où une résolution par une méthode algébrique n’est pas connue [ 34 ] .
Laphysiqueest à l’origine du terme de vecteur, elle utilise toujours largement ce concept. La raison historique provient du fait qu’enphysique classiquel’espace qui nous entoure est bien modélisé commeespace affine(géométrie euclidienne) de dimension trois avec le temps (absolu) comme paramètre d’évolution. En physique, une addition de vecteurs ne peut avoir de sens que si leurs coordonnées respectives ont la mêmedimension .
La position d’un point est décrite par des coordonnées dans un repère, mais sa vitesse et son accélération sont des vecteurs. Pour établir lamécanique du point , c’est-à-dire l’étude des mouvements d’un point matériel, les vecteurs sont indispensables. La position d’un point se modélise par ses trois coordonnées (qui sont des nombres réels) dont chacune est une fonction du temps ; on peut aussi la décrire par levecteur positionallant de l’origine du repère au point : les composantes du vecteur sont alors identifiables aux coordonnées du point. Le vecteurvitesseest égal à la dérivée du vecteur position (c’est-à-dire : les composantes du vecteur vitesse sont les dérivées de celles du vecteur position), et c’est encore un vecteur. Il en est de même pour l’ accélération , correspondant à la dérivée seconde.
Dans unréférentiel galiléen , l’accélération d’un point est proportionnelle à laforcequi lui est appliquée. Une force est équivalente à un vecteur. La trajectoire d’une planète est connue par la force qui lui est appliquée à chaque instant. Cette force est la conséquence de lagravitation , essentiellement due au Soleil. Ce phénomène est décrit par la donnée duchamp gravitationnel . Ce champ associe un vecteur proportionnel à la force de la gravitation à chaque point de l’espace.
Cette modélisation s’accommode plus difficilement de larelativité restreintedu fait que les changements de référentiels n’y dépendent pas linéairement de la vitesse, et elle ne concerne pas larelativité généralequi n’utilise pas d’espace euclidien (sauf pour des approximations). Enphysique quantiqueles coordonnées ne peuvent être celles d’une particule qu’en tenant compte duprincipe d’incertitude , et les forces sont dues à des échanges de particules.
Lesapplications linéairesd’un espace vectoriel dans un autre sont des fonctions respectant l’addition et la multiplication externe. Elles s’additionnent et se multiplient scalairement, et disposent donc des propriétés qui font d’elles des vecteurs. Il en est de même pour lesmatricesde format fixé, même si elles ne sont pas de type colonne : ces matrices forment toujours un espace vectoriel.
Les deux exemples précédents correspondent à des cas où la structure est enrichie par une multiplication interne. Elle porte le nom d’ algèbre , ses éléments sont appelés souvent vecteurs et parfois points. Des exemples sont données par l’ensemble des polynômes à coefficients réels ou encore unealgèbre de Lie .
Dans d’autres cas, la structure est appauvrie. Unmoduleest une structure analogue tel que les scalaires différents de zéro ne sont plus toujours inversibles. Le terme de vecteur est néanmoins toujours utilisé.
Une réorganisation et une clarification du contenu est nécessaire. Discutez des points à améliorer enpage de discussion .
Les lois établissant les mouvements d’un point s’appliquent aussi dans le cas d’unsolide , les calculs deviennent néanmoins plus complexes [pertinence contestée] . Si les vecteurs restent omniprésents, le point d’application de la force possède son importance. Selon sa position, le solide tourne en plus du déplacement de soncentre de gravité . Pour tenir compte de ce phénomène, de nouvelles définitions sont proposées. Unvecteur liéoupointeurest un couple composé d’un vecteur et d’un point appelépoint d’application . La rotation du solide est la conséquence d’une grandeur physique appelémoment . Elle ne dépend pas de la position du vecteur sur une droite donnée. Pour cette raison, unvecteur glissantest un couple composé d’un vecteur et d’une droite affine. Dans ce contexte, et pour éviter toute ambigüité, un vecteur au sens classique du terme est appelévecteur libre [ 35 ] .
Pour tenir compte à la fois de la rotation et du mouvement du centre de gravité, un être mathématique plus complexe est utilisé. Il porte le nom detorseur [ 36 ] . Il correspond à un vecteur de dimension six, trois composantes décrivent le déplacement du centre de gravité et les trois autres la rotation du solide. Les torseurs possèdent en plus une loi de composition spécifique. La physique utilise d’autres généralisations, on peut citer letenseurou lepseudovecteur .
L’informatique utilise le terme de vecteur, à la fois pour des raisons géométriques et algébriques. Le codage d’une image sur un écran d’ordinateur utilise au choix deux techniques :matricielleetvectorielle . La première utilise des éléments graphiques définis point par point. À chaquepixelest associé la quantité decouleurs primairescorrespondante. Si cette méthode est économique en termes de puissance de calcul, un agrandissement de la taille de l’image possède pour conséquence uneffet d’escalier .
Un dessin vectoriel est une représentation composée d’objets géométriques (lignes, points, polygones, courbes…) ayant des attributs de forme, de position, de couleur, etc. À la différence de la technique précédente, il s’agit d’une méthode plus coûteuse en termes de puissance de calcul mais dans laquelle l’effet d’escalier n’existe pas [ 37 ] .
Lareprésentation des données en informatique , pour les fonctions de mémoire ou de calcul, se fonde sur des tableaux d’ octets . Si un octet est identifié à un scalaire, ce qui se conçoit car deux octets s’additionnent et se multiplient, alors un tel tableau s’apparente à une famille de composantes vectorielles. Pour cette raison, un tel tableau est appelé vecteur. Par extension, le terme de vecteur désigne aussi des tableaux dont les composantes sont autre chose que des nombres, par exemple despointeursou des structures informatiques quelconques [ 38 ] .
( en )J. V. Field,The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance ,Oxford University Press , 1997( ISBN   0198523947 )

qu est ce qu un vecteur

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Bonjours, j’ai 14 ans et j’aimerais savoir qu’es-ce qu’un vecteur, j’ai cherché sur wikipédia.. et d’autre site, mais j’amerais quand même une explication clair !
Merci
Boby_nadeau !

—–

Localisation Dans le plan complexe
Bonjour,
Jusqu’au lycée, un vecteur est un objet géométrique du plan ou de l’espace ; c’est une « flèche » qui est caractérisée par sa norme (sa « longueur ») et son orientation. On peut définir des opérations sur ces vecteurs : une addition (et donc une soustraction), un produit scalaire (vu en Première), un produit vectoriel (vu en Terminale).
Après, on définit un vecteur comme un élément d’un espace vectoriel (c’est-à-dire un ensemble muni de deux lois de composition et obéissant à certaines propriétés ; je te laisse jeter un coup sur wikipédia si tu veux voir un peu plus de détails).
Mais ces deux visions ne sont pas incompatibles, puisque les vecteurs du plan ou de l’espace du lycée sont les éléments du-espace vectoriel ou.
Cela dit, tu trouveras un cours sur les vecteurs dans le programme de quatrième ou de troisième.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Localisation Dans le plan complexe
If your method does not solve the problem, change the problem.
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qu est ce qu un vecteur

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Math.ing : Un vecteur, qu’est-ce que c’est ? #1

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Math.ing, une série qui rend les maths concrètes. Cette épisode nous explique ce qu’est un vecteur. Niveau Découverte!

qu est ce qu un vecteur

Une question ? Besoin d’aide ? (Gratuit)
Fiches de niveau seconde 83fiches de mathématiques en seconde disponibles.
Désolé, votre version d’Internet Explorer estplus que périmée! Merci de le mettre à jour ou detélécharger FirefoxouGoogle Chromepour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
Bonjour à tous,

Je viens de commencer un chapitre en maths sur les vecteurs et je vous avoue que je n’ai vraiment rien compris ! Même en relisant vos fiches du site sur les vecteurs, sa ne rentre pas !
Je ne vois pas ce que c’est, à quoi sa sert etc …
Quelqu’un pourrait-il m’expliquer un minimum ??

Merci d’avance !

PS : dans le nouveau programme on ne voit pas les vecteurs en troisième c’est pour ça que je suis un peu « pommé » ^.^’
    Bonjour Marion …  Tu serais plutôt un peu  » paumé « , et même  » paumée  » !… Il n’y a pas de quoi !…  
    Les vecteurs, considère-les comme des forces : par exemple le poids d’un objet est une force vers le bas;  même si tu te déplaces (ou si tu fais les pieds au mur), ton poids est toujours la même force, vers le bas.  
    Autre interprétation, encore avec des forces :  deux chevaux , tirant une charrue , représentent deux forces appliquées au même point;  si la direction des 2 chevaux, donc des 2 forces, n’est pas la même, la charrue sera tirée par la somme des 2 forces.  Non pas la somme a + b, mais a vers la gauche et b vers la droite…  (je résume)
    Sur un dessin, en maths, tes forces seront représentées par des flêches; A la ressemblance du poids , ces forces-flêches seront constantes: en longueur, en direction, et en sens ; Autrement dit quel que soit leur point de départ, elles seront representées par des flêches toujours parallèles à elles-mêmes …

     On pourrait encore disserter là-dessus …
    
Bonsoir jacqlouis
Merci beaucoup pour ta réponse, elle m’a bien aider dans mes réflexions !

Bonne soirée à tous
    D’accord, mais est-ce que tu as bien compris l’utilité de la relation de Chasles ?
J’ai malheureusement eu la grippe A pendant le cours -_-‘
Mais le prof’ va nous réexpliquer (on était 17 absents ^^)

Merci
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qu est ce qu un vecteur

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Citation gerard0 Si tu faisais la même chose avec « fraction » ou « racine carrée », tu serais surpris.
Citation gerard0 « ce qui est commun à des bipoints équipollents »
Citation gerard0
En fait, la bonne question n’est pas ce qu’est un vecteur, mais ce qu’on en fait.
Citation Eric Chopin Personnellement j’ai toujours detesté cette manie d’essayer de faire deviner aux élèves

ce que peut vouloir dire un mot qu’ils n’ont probablement jamais entendu avant
Citation Et donc un peu plus tard on écrit quelque part qu’un vecteur est caractérisé par 3 informations : norme, direction, sens (enfin, il faut faire attention avec le mot caractérisation parce qu’ils ne le comprennent pas).Mais si on donne ça en définition, on se fait descendre par les inspecteurs …
Citation Pascal Ostermann Au fait, que répondrais-tu à ta propre question~?
Citation steph321 un vecteur était « ce qui définit une translation ».
Citation maeloumalo
Tout ce que l’on fait avec les vecteurs en géométrie plane doit pouvoir être fait en utlisant les propriétés du parallélogramme,
Citation Gérard
Pour ma part, je n’avais rien compris à ce chapitre de troisième, bien qu’ayant eu la meilleure note à la composition qui a suivi (j’avais écrit sans comprendre).
Citation Mais bon, ça n’aide probablement pas vraiment à comprendre l’utilisation qu’on fait des vecteurs en mathématiques…
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qu est ce qu un vecteur

qu est ce qu un vecteur
Couples, triplets, n-uplets de réels
Construire le vecteur somme – exercice
Multiplication d’un vecteur par un scalaire
Exercices : Produit d’un vecteur par un scalaire
Exercices : Additionner ou soustraire deux vecteurs
Exercices : Coordonnées cartésiennes du vecteur somme de deux vecteurs donnés en coordonnées polaires
Représentations paramétriques des droites
Combinaison linéaire et sous-espace vectoriel engendré
Couples, triplets, n-uplets de réels
Construire le vecteur somme – exercice
Multiplication d’un vecteur par un scalaire
Exercices : Produit d’un vecteur par un scalaire
Exercices : Additionner ou soustraire deux vecteurs
Exercices : Coordonnées cartésiennes du vecteur somme de deux vecteurs donnés en coordonnées polaires
Représentations paramétriques des droites
Combinaison linéaire et sous-espace vectoriel engendré
A vector is something that has
both magnitude and direction. Magnitude and direction. So let’s think of an example
of what wouldn’t and what would be a vector. So if someone tells
you that something is moving at 5 miles per hour,
this information by itself is not a vector quantity. It’s only specifying
a magnitude. We don’t know what
direction this thing is moving 5 miles per hour in. So this right over
here, which is often referred to as a speed, is not a
vector quantity just by itself. This is considered to
be a scalar quantity. If we want it to be a
vector, we would also have to specify the direction. So for example,
someone might say it’s moving 5 miles
per hour east. So let’s say it’s moving
5 miles per hour due east. So now this combined 5
miles per are due east, this is a vector quantity. And now we wouldn’t
call it speed anymore. We would call it velocity. So velocity is a vector. We’re specifying the
magnitude, 5 miles per hour, and the direction east. But how can we actually
visualize this? So let’s say we’re
operating in two dimensions. And what’s neat
about linear algebra is obviously a lot
of what applies in two dimensions
will extend to three. And then even four, five, six,
as made dimensions as we want. Our brains have trouble
visualizing beyond three. But what’s neat is
we can mathematically deal with beyond three
using linear algebra. And we’ll see that
in future videos. But let’s just go back to
our straight traditional two-dimensional vector
right over here. So one way we
could represent it, as an arrow that
is 5 units long. We’ll assume that each of our
units here is miles per hour. And that’s pointed
to the right, where we’ll say the right is east. So for example, I could start
an arrow right over here. And I could make its length 5. The length of the arrow
specifies the magnitude. So 1, 2, 3, 4, 5. And then the direction
that the arrow is pointed in specifies
it’s direction. So this right over here could
represent visually this vector. If we say that the
horizontal axis is say east, or the positive horizontal
direction is moving in the east, this would be
west, that would be north, and then that would be south. Now, what’s interesting
about vectors is that we only care about the magnitude
in the direction. We don’t necessarily
not care where we start, where we place it when we think
about it visually like this. So for example, this would
be the exact same vector, or be equivalent vector to this. This vector has the same length. So it has the same magnitude. It has a length of 5. And its direction
is also due east. So these two vectors
are equivalent. Now one thing that you might say
is, well, that’s fair enough. But how do we represent
it with a little bit more mathematical notation? So we don’t have to
draw it every time. And we could start
performing operations on it. Well, the typical
way, one, if you want a variable to
represent a vector, is usually a lowercase letter. If you’re publishing a
book, you can bold it. But when you’re doing
it in your notebook, you would typically put a
little arrow on top of it. And there are several
ways that you could do it. You could literally say,
hey 5 miles per hour east. But that doesn’t feel
like you can really operate on that easily. The typical way is to specify,
if you’re in two dimensions, to specify two
numbers that tell you how much is this vector moving
in each of these dimensions? So for example,
this one only moves in the horizontal dimension. And so we’ll put our
horizontal dimension first. So you might call
this vector 5, 0. It’s moving 5, positive 5
in the horizontal direction. And it’s not moving at all
in the vertical direction. And the notation might change. You might also see notation, and
actually in the linear algebra context, it’s more
typical to write it as a column vector
like this– 5, 0. This once again,
the first coordinate represents how much we’re moving
in the horizontal direction. And the second coordinate
represents how much are we moving in the
vertical direction. Now, this one isn’t
that interesting. You could have other vectors. You could have a vector
that looks like this. Let’s say it’s moving 3 in
the horizontal direction. And positive 4. So 1, 2, 3, 4 in the
vertical direction. So it might look
something like this. So this could be another
vector right over here. Maybe we call this
vector, vector a. And once again, I want to
specify that is a vector. And you see here that if
you were to break it down, in the horizontal direction,
it’s shifting three in the horizontal direction,
and it’s shifting positive four in the vertical direction. And we get that by
literally thinking about how much we’re moving
up and how much we’re moving to the right when we
start at the end of the arrow and go to the front of it. So this vector might
be specified as 3, 4. 3, 4. And you could use the
Pythagorean theorem to figure out the actual
length of this vector. And you’ll see because this is
a 3, 4, 5 triangle, that this actually has a magnitude of 5. And as we study more
and more linear algebra, we’re going to start extending
these to multiple dimensions. Obviously we can visualize
up to three dimensions. In four dimensions it
becomes more abstract. And that’s why this type
of a notation is useful. Because it’s very hard to draw
a 4, 5, or 20 dimensional arrow like this.
Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons des problèmes de chargement de données externes.
Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines*. kastatic.orget*. kasandbox.orgsont autorisés.

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qu est ce qu un vecteur

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Quels sont les vecteurs égaux à

A
B

\displaystyle \overrightarrow \rm AB

 ?
Le vecteur

A
B

\displaystyle \overrightarrow \rm AB

est défini par trois éléments :
Le point A est appelé l’du vecteur

A
B

\displaystyle \overrightarrow \rm AB

.

B
A

\displaystyle \overrightarrow \rm BA

E
D

\displaystyle \overrightarrow \rm ED

B
C

\displaystyle \overrightarrow \rm BC

D
F

\displaystyle \overrightarrow \rm DF

E
F

\displaystyle \overrightarrow \rm EF

H
G

\displaystyle \overrightarrow \rm HG

Le vecteur qui ne représente aucun déplacement s’appelle le. Sa est nulle, et il n’a ni ni direction.

qu est ce qu un vecteur
Un vecteur est un arthropode hématophage (se nourrissant de sang) qui assure la transmission biologique active d’un agent pathogène (virus, bactérie, parasite) d’un vertébré à un autre vertébré. Dans son acception la plus large, on peut également inclure les vecteurs dits « mécaniques », qui transportent simplement l’agent pathogène d’un hôte vertébré à un autre, sans faire intervenir de processus biologique.
Le vecteur s’infecte en prélevant le virus, la bactérie, le parasite (protozoaire, helminthe) sur un animal porteur, au cours d’un repas de sang. A l’issue d’une période de développement extrinsèque, généralement d’une durée de 5 à 15 jours, au cours de laquelle l’agent pathogène se réplique ou se transforme, le vecteur le transmet à un nouvel hôte vertébré. Les vecteurs ne vont donc transmettre que des parasites sanguins ou dermiques. Seules quelques familles d’invertébrés, parmi les insectes et les acariens hématophages, sont concernées.
En revanche, les modes de transmission sont variés, les plus fréquents étant par piqûre (paludisme, chikungunya, maladie du sommeil), par déjection (maladie de Chagas, rickettsioses) ou par régurgitation (peste). L’étude de ces vecteurs constitue l’entomologie médicale et vétérinaire.
Veuillez trouver, ci dessous, les présentations de l’Assemblée Générale du CNEV et de la session thématique  « Vecteurs, Santé animale et Zoonoses » qui s’est tenue à Montpellier le 9 novembre 2016 :

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Aucun sujet n’est lié à cet article. Soyez le premier à réagir.

http://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/vecteur/100913

qu est ce qu un vecteur
Traduction / multimedia and association Message demaxinpactposté le 09-03-2010 à 18:27:31 ( S|E| F ) Bonjour,

Je veux traduire :
« Je manage le pole multimédia de l’association d’anciens élèves, très actif en ce moment avec le lancement d’un nouveau site en mars »

par :
« I lead multimedia area of alumni association, very dynamics now with new website launching in March ».

Est-ce correct ?

Merci, Thank you !!

——————-
Modifié parlucile83le 09-03-2010 19:07

qu est ce qu un vecteur

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Cette annexe risque d’être votre plus grande alliée si vous voulez réellement comprendre le fonctionnement de la plupart des effets que nous étudierons dans la partie 3.Nous allons ici étudier ce qu’est un vecteur, ce qu’est lanormalisationd’un vecteur, comment on fait leproduit scalairede deux vecteurs, comment on fait leurproduit vectoriel , mais surtout, à quoi tout cela peut servir. Je me doute que vous avez probablement déjà appris ces concepts à l’école, mais vous a-t-on déjà donné une utilisation pratique de ces outils mathématiques forts pratiques que sont les vecteurs ? Non ? Et bien je vais vous en donner une :) Vous verrez, lorsqu’on a un objectif, l’apprentissage d’un concept est tout de suite plus simple.
Il est avant-tout important de savoir additionner et soustraire deux vecteurs, ces opérations très simples sont la base des vecteurs mais on les utilise tout le temps, il est donc important de les maîtriser.
Attention préparez-vous, car ce chapitre va pleuvoir de schémas. Je me baserai sur une illustration 2D, mais les calculs que je ferai sont tout à fait appliquables en 3D, et heuresement, car c’est notre objectif.
Cette section est bien sûr réservée aux néophytes, si vous savez déjà ce qu’est un vecteur, passez tout de suite au gros titre suivant.
Vous pouvez comparer un vecteur avec unedirection . Un vecteur marche aussi bien en 1D, qu’en 2D et qu’en 3D, les principes sont les mêmes.
Oui mais un vecteur, ça ressemble à quoi ?
Je vous propose de voir mon premier schéma, qui illustre un plan 2D et un vecteur dessiné dans ce plan :
Cette barre rouge au milieu est un vecteur, comme vous le voyez, elle représente une direction.Ce vecteur v s’écrit comme ceci :
Le premier chiffre représente la composante x, et le second la composante y. Pour les vecteurs 3D, il y a une 3eme composate : la composante z. Ici notre vecteur peut être transformé en vecteur 3D, il aura donc une composante z nulle :
Puisqu’un vecteur représente une direction, on part du principe qu’un vecteur commence toujours au point (0; 0).
L’addition de vecteurs sert à obtenir une coordonnée finale dans l’espace résultante de plusieurs vecteurs.Comme l’illustre le schéma ci-dessous, mes deux vecteurs additionnés donnent naissance à un 3eme point qui est le résultat de l’addition des vecteurs a et b :
Vous pouvez toujours additionner un vecteur à un autre, et ainsi vous ballader librement dans l’espace, c’est un peu le principe qui est utilisé pour lescamérasdans les jeux vidéos : la position de la caméra est représentée par un vecteur auquel on en additionne d’autres afin dedéplacerla caméra.
Pour additionner deux vecteurs mathématiquement, on procède à l’addition de chaque composante du vecteur a par la même composante chez le vecteur b :
Essayons d’additionner plusieurs vecteurs entres eux.Nous allons additionner 3 vecteurs : a, b et c.Voici ces trois vecteurs :
Euh, comment on additionne tout ça ?
Je vais vous représenter tout ces vecteurs autrement. On peut schématiser l’addition comme ceci :
Ici, le vecteur résultant, v, se calcule ainsi :
v.x = a.x + b.x + c.x v.y = a.y + b.y + c.y
Nous obtenons donc le vecteur v(1; 1).
Notez que l’ordre d’addition n’a pas d’importance : 2+1 = 1+2Voyez ci-dessous l’illustration d’un autre ordre d’addition : on retombe exactement au même endroit qu’avant (1; 1) :
L’addition de vecteurs peut également servir à trouver un vecteur moyen entre plusieurs vecteurs, en fait c’est ce que nous avons fait jusqu’à maintenant, mais à présent si nous considérons la position résultante de l’addition de plusieurs vecteurs comme unedirectionet non une position, nous obtenons en fait la direction moyenne de tous les vecteurs additionnés.
Reprenons notre premier schéma sur l’addition des vecteurs :
Nous voyons ici que le vecteur résultant est positionné exactement entre a et b. Il est souvent utile de connaître une moyenne entre plusieurs directions, à présent vous savez comment faire, il suffit d’additionner toutes ces directions entres elles.
La soustraction de vecteurs est utilisée pour connaître le vecteur qui va d’un point à un autre.Supposez que vous ayez les coordonnées dans l’espace de deux objets A et B, et que vous vouliez connaître le vecteur qui va de A vers B, ou de B vers A, il va vous falloir utiliser la soustraction de vecteurs.
Ca me servira à quoi de connaître le vecteur qui va de A vers B ?
Imaginez par exemple que vous vouliez programmer une animation fluide qui déplace l’objet A vers l’objet B, il vous faudra connaître la direction dans laquelle déplacer A, la soustraction de vecteurs est inévitable.
Voici un schéma de base pour illustrer ce que nous recherchons :
Nous allons calculer le vecteur v en soustrayant A à B. Cela fonctionne exactement de la même façon que l’addition, rien de plus simple :
Ce qui revient à effectuer le calcul suivant :
Nous obtenons le vecteur v(-5; -1). Si nous le traçons dans le plan, nous obtenons… ceci :
Mais si, il suffit de placer l’origine du vecteur sur le point A et nous obtenons ce que nous cherchions.
Avant de voir ce qu’est lanormalisationd’un vecteur, il nous faut d’abord voir ce qu’est salongueuret ce qu’elle représente.
La longueur d’un vecteur, c’est la distance qui sépare le point (0; 0) du point pointé par le vecteur dont on veut connaître la longueur.Lorsque nous dessinons ceci :
Il est aisé de s’appercevoir que la longueur du vecteur v est de1 .En revanche, la longueur d’un vecteur comme nous en avons vu tout à l’heure :
est moins évidente, il nous faut la calculer.
Vous connaîssez probablement Pythagore, ce Grec philosophe et mathématicien de l’antiquité ? Non ? Mais alors connaîssez-vous seulement son théorème ? Si vous ne le connaîssez pas, vous risquez d’avoir quelques difficultés à comprendre cette partie du chapitre.
La longueur d’un vecteur se calcule ainsi :
Dans le cas d’un vecteur à 3 dimensions, le calcul est le même, il suffit de rajouter la composante z comme ceci :
longueur est égal à la longueur du vecteur v.Il est possible d’illustrer le calcul de la longueur de notre vecteur à deux dimensions v :
Nous remarquons ici la présence d’un triangle rectangle, sur lequel on a en fait tout simplement appliqué le théorème de Pythagore ;)
La normalisation d’un vecteur revient à donner unenormede1à sa longueur. Ce qui veut dire que la longueur d’un vecteur normalisé est toujours de1 .
Il est possible d’illustrer la normalisation d’un vecteur par un simple schéma :
Soit 1 le rayon de ce cercle, tout vecteur partant du point (0; 0) et ayant une longueur de 1 touchera pile poil un endroit de la courbe de ce cercle.
Quel est l’utilité de la normalisation ?
L’utilité est difficile à démontrer pour l’instant, nous verrons cela plus bas lorsque nous parlerons du produit scalaire.
Effectuer une normalisation est très simple, surtout si l’on sait calculer la longueur d’un vecteur et qu’on a bien compris le principe de la normalisation.
Il suffit en fait de diviser chaque composante du vecteur (x, y, z (si 3D)) par la longueur du vecteur, et nous obtenons un vecteur normalisé.Rappelez-vous du calcul de la longueur d’un vecteur, vu plus haut. Nous avons donc une valeur appelée longueur qui est la longueur de notre vecteur v.Puisque la normalisation d’un vecteur signifie qu’il faut diviser chaque composante du vecteur par la longueur du vecteur, le calcul s’effectue ainsi :
v.x = v.x / longueur; v.y = v.y / longueur;
Il faut bien sûr rajouter ce calcul :
Notez que pour un vecteur 4D (c’est-à-dire avec une composante w), la normalisation de ce dernier revient à diviser chacune de ses trois premières composantes par w au lieu de longueur.
Si vous recalculez la longueur d’un vecteur normalisé, vous verrez que le résultat sera 1.
Je vous propose de voir une première utilisation pratique des vecteurs normalisés, car je suis sûr que vous vous demandez à quoi la normalisation peut servir.
Souvenez-vous de notre schéma avec nos objets A et B, nous avions réussi à créer un vecteur qui allait de A vers B :
(notez qu’ici je n’ai pas dessiné le vecteur normalisé)
Supposons que nous normalisons ce vecteur et que nous l’appelons v.
Avec la normalisation, on sait de combien on se déplace : on se déplace toujours de1 . Supposons que vous ayez considéré en OpenGL que 1 = 1 mètre, alors vous êtes sûrs qu’en additionnant un vecteur normalisé à un point celui-ci se déplacera d’un mètre dans la direction indiquée par le vecteur.
Ainsi, en additionnant v à A, nous sommes sûrs et certains que A se déplacera d’un mètre dans la direction de B. Et si nous voulons qu’il se déplace d’un centimètre, comme nous avons un vecteur normalisé, nous n’aurons qu’à diviser celui-ci par 100 avant de l’additionner à A pour qu’il se déplace d’un centimètre.
Diviser un vecteur par un réel quelconque revient à diviser chaque composante du vecteur par le réel en question, comme pour la normalisation, mais en remplaçant longueur par ce réel. Il en va de même pour la multiplication d’un vecteur par un réel, sauf que cette fois au lieu de diviser on multiplie.
Et voilà, vous savez maintenant normaliser un vecteur et vous en servir pour une utilisation basique. Nous allons voir maintenant une technique de calcul qui nécessite obligatoirement des vecteurs normalisés : le produit scalaire.
Le produit scalaire se ditdot producten anglais.Vous avez peut-être déjà entendu parler du produit scalaire, mais savez-vous comment le calculer et surtout, à quoi il peut servir ? Non ? Et bien nous allons voir ça :)
Effectuer le produit scalaire de deux vecteurs, c’est connaître l’angle qu’il y a entre deux vecteurs. Voici un schéma qui illustre assez bien ce que nous voulons calculer :
Bon, là je vous l’accorde, l’angle se devine facilement. Mais il se devine seulement, car en programmation 3D il ne s’agit pas de deviner, il s’agit de calculer.
Si nous prenons deux vecteurs, (3; 2; 5) et (0; 2; 1) par exemple, comment, à partir de ces données, pourriez-vous calculer l’angle qui sépare ces deux vecteurs ? Le produit scalaire sert à calculer cela.
Bien sûr ! sinon cela n’aurait aucun intérêt.
Nous supposerons par la suite que tous nos vecteurs sont normalisés.
En supposant que vous ayez deux vecteurs, a et b, et que vous souhaitez connaître leur produit scalaire, le calcul est, pour des vecteurs 2D :
Et en 3D, on rajoute la composante Z, aussi simplement que cela :
dot = (a.x * b.x) + (a.y * b.y) + (a.z * b.z)
Euh, c’est bien joli ce dot, mais c’est quoi ? C’est la valeur de l’angle ?
Non, mais c’est le cosinus de l’angle.
Si dot vaut1 , les deux vecteurs pointent dans la même direction (0°).Si dot vaut0 , alors les deux vecteurs pointent dans deux directions qui sont à angle droit (90°).
Et donc logiquement, quand dot est entre 0 et 1, l’angle est compris entre 90° et 0°.
Mais moi je veux un angle en degrès précis, ça va me servir à quoi sinon ? Et que vaut dot quand les vecteurs sont séparés par plus de 90° ? Et puis à quoi ça sert de calculer le produit scalaire ?
Tout d’abord, pour obtenir l’angle, il suffit d’utiliser la simple fonction mathématique arc cosinus (cos-1() sur les calculatrices) sur notre valeur dot.Mais attention, arc cosinus ne fonctionne pas sur des nombres négatifs, et lorsque l’angle qui sépare deux vecteurs est supérieur à 90°, dot prend alors une valeur négative, et on ne peut alors plus calculer l’angle qui sépare nos vecteurs.
Mais rassurez-vous, en 3D cela sera inutile, nous nous contenterons de vérifier si dot se situe entre 0 et 1, sinon on considèrera sa valeur comme étant de 0.
Ah ouais, mais alors il sert à quoi ce produit scalaire ?
Pour vous répondre en quelques mots : à calculer le taux de reception de lumière d’un plan.Nous étudierons cela plus en détail lorsque nous apprendrons à gérer la lumière dans la 3eme partie du tutoriel.
Le produit scalaire sert à calculer l’angle entre deux vecteurs.
Le produit scalaire ne fonctionnequesur des vecteurs normalisés !
Le produit vectoriel sert à calculer le vecteur perpendiculaire à deux autres vecteurs. Le produit vectoriel se ditcross product(produit croisé) en anglais, mais vous voudriez peut-être savoir à quoi cela sert avant d’apprendre à le calculer ? Pas de problème.
Toute face (surface plane) possède unenormale . Prenons par exemple votre table de bureau, c’est une surface plane. Sa normale pointe pile poil vers le plafond (vers le haut).
Voici comment schématiser la normale d’une face :
Voici un cube. J’ai dessiné (à l’aide de Blender) pour chaque face du cube, sa normale. Comme vous pouvez le voir, la normale d’une face plane est un vecteur qui est perpendiculaire à la face.
Quel est le rapport avec le produit vectoriel ?
Et bien le produit vectoriel permet de calculer cette normale, uniquement grâce aux positions des sommets qui la composent :)
Il est temps maintenant de représenter le produit vectoriel, ainsi que de montrer le calcul qu’il faut faire pour le trouver.
Le calcul du produit vectoriel se fait à partir de deux vecteurs et permet d’obtenir un autre vecteur. Ce vecteur obtenu est perpendiculaire aux deux autres vecteurs… tout comme la normale d’une face est perpendiculaire à la face elle même.
Nous pouvons faire l’analogie avec le produit vectoriel et la normale d’une face. En effet, voyez plutôt ce schéma :
Cette illustration résume assez bien tout ce que nous venons de voir :) Nous pouvons voir d’une part les vecteurs a et b, d’autre part le vecteur n, qui n’est autre que le résultat du produit vectoriel de a et b, en effet, n est perpendiculaire à a et b. Mais il est aussi perpendiculaire à la face, il représente donc sa normale.
Nous venons de voir qu’avec deux vecteurs qui longent les bords d’une face, nous pouvons obtenir la normale de cette face
Et comment on les trouve ces vecteurs qui longent les bords de notre face ? (a et b)
Revoyez la première partie de ce chapitre, et plus précisément l’endroit qui parle de la soustraction de vecteurs… vous devriez trouver assez aisément ;) Rappelez-vous que nous connaissons les positions des sommets qui constituent notre face.
Mais ça ne nous dit pas le plus important : comment on calcule ça ?
Oh ça, c’est le moins important, il s’agit d’une grosse formule barbare, l’important c’est de bien savoir ce que permet de faire le produit vectoriel.
Voici le calcul du produit vectoriel :
n.x = (a.y * b.z) – (a.z * b.y) n.y = (a.z * b.x) – (a.x * b.z) n.z = (a.x * b.y) – (a.y * b.x)
Notez que si vous échangez les vecteurs a et b dans les calculs, le vecteur obtenu sera exactement le vecteur opposé à celui que vous auriez obtenu sans échanger a et b.
Mais alors comment connaître le bon ordre de calcul pour obtenir la bonne normale de notre face ?
Il n’existe pas de méthode magique pour cela… Comment savoir quelle doit être la normale de votre face ? Il n’y a pas de « haut » en 3D, ni nulle part d’ailleurs, tout est relatif. Les sommets des triangles dans les maillages sont généralement donné dans un ordre conventionnel, ce qui permet de détermnier l’orientation de la face.
Les vecteurs ne sont pas une notion simple à aborder, il est possible qu’il vous fasse du temps avant de vous y faire. Prenez le temps de relire tranquillement chaque passage de ce chapitre afin de vous familiariser avec les vecteurs, c’est essentiel croyez-moi, car nous les utiliserons en permanence par la suite. Il est donc important que vous vous sentiez à l’aise avec ceux-ci.
Pour finir, je vais vous renvoyer sur les articles de Wikipedia à propos de tout ce que nous avons appris, ça vaut toujours le coup d’oeil.
Et voilà, c’est la fin de cette annexe, n’hésitez pas à venir la consulter régulièrement si vous vous sentez bloqué par la suite.
Merci au sitewww.developpez.comet aux membres de sa section programmation 3D, grâce auxquels j’ai acquis la plupart des mes connaissances actuelles en terme de programmation 3D.
Les commentaires, critiques ou corrections sont les bienvenus. Si vous pensez avoir trouvé une incohérence ou si vous avez mal compris quelque chose, n’hésitez pas à m’en faire part, je serai heureux de pouvoir améliorer le tutoriel pour vous ;)
Cette création est mise à disposition sous uncontrat Creative Commons .
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Effectuez vos études statistiques avec R Last updated on Friday, December 30, 2016

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Vous en avez marre de ne travailler qu’avec des variables aussi simples qu’un nombre ou une suite de lettres? Vous souhaitez pouvoir en créer qui contiendraient toute une série de nombres, de noms, d’identifiants,…? Réjouissez vous, le temps est venu. :)
Nous allons maintenant aborder pendant plusieurs chapitres un des principaux atouts du langage R:la gestion de données complexes . R vous permet effectivement de facilement créer mais surtout manipuler diversesstructures de donnéesque vous découvrirez sous le nom de vecteurs, matrices, tableau de données,…
Ce chapitre va présenter la structure la plus basique mais aussi peut être la plus importante sous R:le vecteur .
En R, le vecteur est un des éléments de base du langage. Un vecteur estune liste d’éléments étant tous du même type .
Par exemple, jusqu’à maintenant, vous saviez manipuler des nombres. Un vecteur est une structure qui vous permettra donc de stocker plusieurs nombres dans une même variable. D’ailleurs, pour ces structures complexes, nous ne parlerons plus de variables comme précédemment mais d’ objets . En effet, nous avons vu que les variables permettaient de récupérer le contenu d’une case mémoire. Or, pour les objets, l’information à stocker est bien plus importante et hétérogène. Selon le type d’objet on peut, en plus des valeurs, par exemple avoir des noms, des niveaux ou bien d’autres informations annexes à stocker. C’est ce que l’on appelleles attributs de l’objet . Le terme variable ne désignera donc maintenant que le nom donné à l’objet, le nom qu’il nous faudra écrire pour y accéder.
Représentation schématique d’un objet.
La définition d’un vecteur nous indique qu’il peut comporter plusieurs éléments et ceux ci doivent être du même type. Pour pouvoir créer un vecteur il faudra donc lui spécifier deuxattributs : le type de ces éléments et la longueur du vecteur (le nombre d’éléments qu’il comportera). Nous verrons même par la suite qu’il existe d’autres attributs qui sont eux optionnels tels qu’un nom pour les différents éléments.
Les attributs sont les propriétés d’un objet. Ce sont des informations communes à tous les objets du même type. Les attributs peut être récupérés et modifiés grace à des fonctions particulières que nous apprendrons à utiliser par la suite.
Pour finir cette introduction je vais maintenant vous faire une petite révélation: vous avez déjà manipulé des vecteurs lors des précédents chapitres sans vous en rendre compte. En effet, en R, il n’existe pas d’éléments isolés, ce qui veut par exemple dire, qu’un nombre seul n’est en fait pas une variable de type numérique mais un vecteur de type numérique et de longueur 1. C’est pour cela que l’affichage d’une variable dans la console était toujours précédé du chiffre [1] qui indiquait qu’il s’agissait du premier élément du vecteur. Cela veut surtout dire que toutes les fonctions mathématiques que vous avez précédemment utilisé ont pris des vecteurs comme argument. Vous pourrez donc les utiliser de la même façon avec un vecteur de taille 1 qu’un vecteur de taille 10 ou 1000. La seule différence sera donc que la fonction vous retournera le résultat sous la forme d’un vecteur de longueur (généralement) égale à la longueur du vecteur d’entrée. La bonne nouvelle donc c’est qu’en fait vous savez déjà manipuler et effectuer des opérations sur des vecteurs, le seul détail c’est qu’ils n’avaient qu’un élément ;)
Après cette partie théorique mettons maintenant la main à la pâte et voyons comment créer un vecteur. Il existe en fait beaucoup de manières différentes de le faire. Selon le contexte, votre type de données ou votre taux fainéantise vous serez à amener plus souvent une méthode plutôt qu’une autre mais toutes resteront utiles à connaître.
La première méthode est la plus didactique car elle demande de spécifier explicitement les différents attributs de l’objet que l’on veut créer, un bon moyen d’appréhender ces objets donc ! Il faut pour cela faire appel à la fonctionvector()et lui préciser le type de données que le vecteur va contenir ainsi que le nombre d’éléments (la longueur du vecteur).Souvenez vous que tous les éléments d’un vecteur doivent être du même type. Un vecteur peut se composer d’éléments des types suivants:
ou des éléments logiques (booléens)
L’exemple suivant vous permet de créer un vecteur contenant 10 éléments numériques.
Cette ligne de code nous a donc créé un vecteur avec 10 éléments numériques et leur a assigné une valeur par défaut qui est ici le nombre 0. En connaissant cette syntaxe pour la fonctionvector()on peut donc créer d’autres vecteurs comme illustré ci dessous.
Il existe une solution plus rapide que l’appel à la fonctionvector() . Les fonctionsnumeric() ,character()etlogical()permettent de directement créer un vecteur du type voulu. Il n’y a alors plus qu’un seul argument à préciser pour créer un vecteur: sa longueur. Le tableau ci dessous récapitule les solutions équivalentes pour créer un vecteur de taille 10.
Utilisation de la fonctionvector()
Ceux qui ont bien suivi les précédents chapitres et ont une bonne mémoire se souviendront que l’on a déjà vu une fonction permettant des vecteurs: la fonctionscan() . Nous avions effectivement vu que si l’on rentrait plusieurs nombres au clavier ils étaient alors tous stockés dans la même structure qui est en fait un vecteur. Les lignes de code suivantes permettent donc de créer des vecteurs grace à cette fonction.
Cette méthode a cependant certains inconvénients: la fonctionscan()ne permet de rentrer que des nombres et elle est peu adaptée pour rentrer un grand nombre de d’éléments.
Si vous souhaitez créer de grands vecteurs avec des valeurs spécifiques il existe alors d’autres méthodes qui vous permettront de générer par exemple des suites ou des répétitions d’éléments. La syntaxe suivante permet de générer une suite allant d’un nombre à un autre.
Notez bien cette syntaxe, elle pourra vous être très utile par la suite.Il est aussi possible d’utiliser des fonctions permettant de générer des suites de la sorte notamment grace aux fonctionsrep()etseq() .
Une dernière méthode consiste à concaténer plusieurs vecteurs. Nous avons déjà précédemment parlé de concaténation mais avec des chaînes de caractères. Le principe est ici le même sauf qu’au lieu de mettre bout à bout différentes chaines de caractères, on le fera avec des vecteurs. La syntaxe est assez simple mais rappelez vous qu’un vecteur doit toujours contenir des éléments du même type. Il vous sera donc impossible de concaténer deux vecteurs contenant des éléments de types différents (par exemple des éléments numériques avec des éléments logiques). La concaténation de vecteurs se fait à l’aide de la fonctionc() . Cette fonction prend autant d’arguments que vous le souhaitez, chacun des arguments donnés étant ajouté au nouveau vecteur dans l’ordre dans lequel il a été ajouté.
Pour plus de lisibilité, on peut être amené à vouloir donner des noms aux éléments d’un vecteur. Créons par exemple un vecteur appelépoidsdans lequel nous noterons le poids de 4 individus: Marc, Julie, Sophie et Blaise.Commençons d’abord par créer le vecteur contenant les valeurs.
Maintenant, pour pouvoir lire plus facilement ce vecteur, on veut associer un nom à chacun de ces éléments. Pour cela, nous allons utliser la fonctionnames() . Cette fonction renvoie les noms des différents éléments d’un objet tel qu’un vecteur. Si on l’utilise pour connaitre les noms des éléments du vecteurpoidsil nous retourneNULL , tout simplement car, par défaut, les éléments d’un vecteur n’ont pas de nom.
Nous allons alors utiliser cette même fonctionnames()pour assigner des noms aux éléments du vecteurpoids .
La fonctionnames()permet de consulter ou de mettre à jour l’attribut d’un vecteur contenant le nom des différents éléments. En appelant seulement la fonction, nous pouvons consulter ces noms. En y assignant une valeur, on peut les mettre à jour.
Le code ci-dessous permet donc de définir des noms pour les différents éléments de notre vecteurpoids .
Maintenant que vous savez créer des vecteurs, il est fort probable que vous ayez besoin de travailler seulement sur une sous partie de celui ci. Afin de permettre ce type de manipulation, les éléments d’un vecteur sontindexésce qui signifie que chaque élément est accessible grace à un index numérique ou par un nom qui peut lui être attribué.
Les éléments d’un vecteur sont donc indexés par des nombres allant de 1 à la longueur du vecteur. L’index 1 permettra donc d’accéder au premier élément du vecteur, l’index 2 au second élément et ainsi de suite jusqu’au dernier élément. Pour accéder à un élément d’un vecteur via son index on utilise la syntaxe décrite dans l’exemple suivant.
Le sytème permet cependant d’être plus puissant que cela car il est possible d’extraire plus d’un élément d’un vecteur à la fois. Il suffit pour cela de spécifier plusieurs index sous la forme… d’un vecteur. Au lieu de spécifier un seul nombre entre les crochets, il suffit alors de spécifier un vecteur contenant les index des éléments que l’on souhaite extraire. Vous pourrez ici vous rendre compte que vous aurez tout loisir d’utiliser les différentes méthodes précédemment décrites pour créer des vecteurs.Les exemples ci dessous illustrent comment extraire différents prénoms d’un vecteur grace à différentes méthodes. Le résultat est renvoyé sous la forme d’un nouveau vecteur.
Il existe une autre façon de sélectionner les éléments d’un vecteur. Une méthode qui peut paraitre contre intuitive mais qui vous sera pourtant très utile par la suite: l’utilisation de booléens. La petite portion de code ci dessous vous en montre un exemple.
On transmet ici un vecteur contenant 3 fois TRUE, 4 fois FALSE puis 1 fois TRUE comme index pour le vecteur prénoms que nous avons précédemment créé. Le nouveau vecteur résultant de cette opération ne comportera alors que les éléments dont l’index a la valeur TRUE, à savoir les éléments numéro 1,2,3 et 8. Cette approche peut paraître ici surprenante car on ne se contente pas de spécifier les éléments que l’on souhaite sélectionner mais aussi ceux dont on ne veut pas. Indiquer que nous ne souhaitons que les éléments 1, 2, 3 et 8 aurait tout aussi bien fonctionné. Et vous avez entièrement raison. Mais imaginons maintenant un autre cas.Vous souhaitez manipuler un vecteur composé d’éléments numériques non ordonnés tel que celui créé par le code ci dessous.
Supposons alors que vous ne souhaitez en extraire que les éléments supérieurs à 7. Nous avons vu lors des chapitres précédents qu’il existe des éléments de comparaison permettant de tester une affirmation et de retourner un booléen. Comme vous savez maintenant aussi que les variables numériques ou les chaines de caractères isolés ne sont en fait que des vecteurs de longueur 1, vous comprendrez alors que l’on peut appliquer ces éléments de comparaison à un vecteur. Ceci renverra un nouveau vecteur de même longueur que le vecteur testé et dont les éléments seront des booléens: TRUE si la comparaison est vrai, FALSE dans l’autre cas.
La commandevecteur2 > 7a donc créé un vecteur de même longueur quevecteur2et dont les éléments indiquent si oui ou non la comparaison est vraie ou non. En donnant ce nouveau vecteur comme élément d’indexation pour le vecteur initialvecteur2on pourra ainsi en extraire les éléments étant supérieurs à 7.
Pour pouvoir sélectionner des éléments précis d’un vecteur il est possible de se référer aux noms des éléments si ils ont été définis. Dans l’exemple du vecteurpoidsque nous avons créé précédemment, nous pouvons appeler un élément par le prénom qui lui est associé. Il suffit simplement de spécifier le(s) nom(s) des éléments que nous voulons extraire au lieu de leurs index numériques comme le montre l’exemple ci dessous.
Finissons maintenant ce chapitre important en apprenant une nouvelle manipulation de base pouvant être effectuée sur un vecteur: modifier un ou plusieurs de ses éléments.
Si vous avez bien suivi et bien compris la section sur l’indexation il vous sera alors très facile de comprendre cette partie car elle repose entièrement sur les mêmes notions. Il n’y a en effet rien de bien compliqué pour modifier un ou plusieurs éléments d’un vecteur. Il suffit d’indiquer le(s) élément(s) que l’on souhaite modifier en se référant à leur index et de spécifier un nombre égal de valeurs de remplacement.L’exemple ci dessous vous illustre ainsi comment modifier des éléments du vecteurprenomsque nous avons étudié précédemment.
Comme vous le constatez, il n’y a rien de bien compliqué dans la manoeuvre dans la mesure où vous êtes un minimum à l’aise avec l’indexation des vecteurs.
Et voilà un autre chapitre important de clos. N’hésitez pas à le relire si vous pensez ne pas avoir compris certains détails car la manipulation des vecteurs est primordiale en R.D’une part, vous venez de faire votre premier pas avec des objets pluri-dimensionnels. Les vecteurs vous permettent de pouvoir manipuler et étudier des séries de valeurs organisées dans une structure adéquate. Désormais vous serez amenés à n’utiliser quasiment que ce genre d’objets.D’une part, il s’agit d’une structure de base qui est omniprésente en R. Lorsque vous manipulerez des structures plus complexes vous vous rendrez compte que leur manipulation est très similaire. Et pour cause! certaines de ces structures sont en fait composées de vecteurs organisés en objets plus avancés.
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qu est ce qu un vecteur
Choisissez un chapitre Grandeurs – Symboles – Dimensions
Systèmes et unités de mesures
Vecteurs
Nombres complexes
Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances
Trigonométrie circulaire – Trigonométrie hyperbolique
Dérivées – Différentielles
L’intégrale simple
Équations différentielles du 1er ordre
Équations différentielles du 2ème ordre
Calcul matriciel
Un bipoint noté

est un couple ordonné de points. Le bipoint

est donc différent du bipoint

.
Un segment noté

est l’ensemble des points de la droite

.
Un segment orienté

est un segment sur lequel la flèche est orientée de

(origine) vers

(extrémité).
Comme pour le bipoint

est différent de

.
Deux segments orientés

et

sont équipollents ou égaux, s’ils ont
Pour l’ensemble des segments orientés l’équipollence est une relation d’équivalence. Par convention, deux segments orientés équipollents ne sont pas différenciés et appartiennent à une même classe d’équivalence. Ils peuvent donc être représentés par un même vecteur.
Nous adopterons la notation suivante :
Un bipoint

ou un segment orienté

sera représenté par le vecteur

(ou par une lettre surmontée par une flèche

).
On dit qu’une relation sur

est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive sur

.
Dans l’ensemble des segments du plan, la relation « avoir même longueur que » est une relation d’équivalence.
On dit que

est une relation réflexive sur

si tout élément de

est en relation avec lui-même c’est à dire :

.
Sur l’ensemble des segments de droite la relation « avoir même longueur que » est une relation réflexive.
On dit que

est une relation symétrique sur

si pour tout couple

de

tel que

on a aussi

.
Dans l’ensemble des droites du plan la relation « est parallèle à » est une relation symétrique.
On dit que

est une relation transitive sur

si pour tout triplet

tel que

et

on ait aussi

.
Dans

, la relation « est inférieur ou égal à » est une relation transitive.
Une unité de longueur ayant été choisie sur la droite

support du vecteur

, on appelle longueur (ou norme, intensité, module ou valeur absolue) du vecteur

, désignée par

la distance

.
Cas particulier: si

, le vecteur est dit unitaire.
On appelle axe une droite support orientée.
La mesure algébrique d’un vecteur

, notée

, porté par un axe est le nombre relatif dont la valeur absolue est la longueur du vecteur et définie par :

si

a pour sens le sens positif de l’axe orienté.

si

a pour sens le sens négatif de l’axe orienté.
Deux vecteurs

et

sont dits opposés si leurs supports sont parallèles et leurs mesures algébriques comptées sur le même axe

sont opposées.
Cas particulier:

et

sont deux vecteurs opposés.
L’abscisse d’un point

d’un axe est la mesure algébrique du vecteur

,

étant un point de l’axe que l’on choisit pour origine. La connaissance de l’abscisse suppose que l’on a fixé l’origine

, l’axe

et l’unité de longueur .
Un vecteur est appelé « vecteur libre » s’il est défini par sa direction, son sens et sa longueur.
Les vecteurs

,

et

sont des représentants d’un même vecteur

.
Un vecteur est nommé « vecteur glissant » si l’on impose sa droite support

.
Les vecteurs

et

sont des représentants du vecteur glissant

.
Un vecteur est nommé « vecteur lié » si l’on fixe le point d’application

.
La position du vecteur est complètement définie sur la droite support

.
Deux vecteurs liés d’origines différentes (d’origine

et

) sont :
égaux s’ils ont même direction, même sens et même grandeur.
Ils représentent le même vecteur libre ou le même vecteur glissant s’ils ont même support

.
opposés s’ils ont même direction, sens opposés, même grandeur et dits « directement opposés » s’ils ont même support

.

qu est ce qu un vecteur

Chapitre 11 : La géométrie dans l’espace
Montrer que trois points définissent un plan
Montrer qu’un vecteur est normal à un plan
Déterminer une équation cartésienne de plan
Montrer qu’un point appartient à une droite
Déterminer l’intersection de deux droites dans l’espace
Calculer des longueurs et des coordonnées dans l’espace
Déterminer si trois points forment un plan
Montrer qu’un vecteur est normal à un plan
Montrer qu’un point appartient à un plan
Déterminer uneéquation cartésienne de plan
Déterminer si un point appartient à une droite
Déterminer l’intersection de deux droites dans l’espace
Déterminer l’intersection de deux plans
Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan
On considère les trois points non alignés du plan suivant :
\(\displaystyleA\left(0;4;1\right)\) ,\(\displaystyleB\left(1;3;0\right)\)et\(\displaystyleC\left(2;-1;-2\right)\)
Le vecteur\(\displaystyle\overrightarrown\beginpmatrix 2 \cr\cr -1 \cr\cr 3 \endpmatrix\)est-il normal au planABC?
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qu est ce qu un vecteur
DOSSIER: LE VECTEUR  et SON OPPOSE
Rappel :
les caractéristiques du vecteur sont : direction ;sens ; norme.
                            Un vecteur est
dit  « opposé » à un autre
vecteur  si il à la même direction ,la
même norme  , mais il est de « sens
contraire ».  
  (On peut
dire :  levecteur bleuest l ’opposé
duvecteur noir   ou  le
vecteur noirest l’ opposéduvecteur bleu )
Rappel«  vecteur nul »
 :  un  vect e ur est nul
si l’extrémité et l’origine sont confondues :
                    
ainsi     AA   =  
II   = O  
2°) Coordonnées d’un
vecteur et de son opposé :
Remarque  : la somm ed e d eux vecteurs  
colinéaires  égaux opposés est
égal au vecteur nul .
Recherche des coordonnées  du vecteur IA et AI  :
  On donne
les coordonnées des points A et I :  
      
Exemple :    I ( 3 ;
2) ; A ( 2 ;1)
Soit  un
point « I » d’abscisse x I  et d’ordonnée y I  étant donné : I (x I  ;
y I)  .
1°)  Calcul
des coordonnées du vecteur  IA : (
extrémité moins  origine)    
 sur
« x » 
;    x A  –  xI  =    
( +2 ) – ( +3)  =  ( -1 )     
( SOS calcul num. ?)
 sur  « y
»  ;   yA  –  yI
=    ( + 1) – (  + 2) =  
( -1)
2°)Calcul des coordonnées du vecteur  AI :  
(extrémité moins  origine)    
 sur
« x »         xI  – x A   = ( +3) – ( +2 )   =  (
+1 )     ( SOS calcul ?)
 sur  «  y
»      yI  –  yA
=   ( + 2) – (  + 1) = ( + 1)
Les coordonnées du vecteur   IA  
sont   ( -1 ;
-1)   
Les coordonnées du vecteur  AI   
sont   ( +1  ;+1
)
     les vecteurs     IA et  
AI ; ou   AI et IA    ont  
des  coordonnées de valeurs
opposées
     Leur
somme est égale à  « 0 »
A I    +  IA =    
AA    ou       IA + AI      =     
II
Représentation
graphique de l’ opposéde     
     :                      
Tracer le bipoint  
(A,B) représentant de    puis
le bipoint (A,C) représentant de  .
Donner un représentant du vecteur      qu ‘il faut ajouter à   pour obtenir  
 :
 =
  +        ;     est représenté par le bipoint.
On appelle « différence des vecteurs   et
  le vecteur  qu ‘il faut ajouter à  pour obtenir .On
note     =   –
         ;
Dans la représentation graphique de la différence
de deux vecteurs on trace la somme des vecteurs  
                       =   +  (-)    on dit aussi    =   +
opp ( )
Pour
la compréhension voir l ‘ objectif DR2  
(soustraction de deux nombres décimaux)
Tracer  le
bipoint (B,D)  représentant du
vecteur  ’   ,opposé du vecteur    , le bipoint (A , D)
Que  peut –
on dire des bipoints  (A,D) et (  C,B) ?
La différence de deux vecteurs et    est égale à la somme du vecteur et
du vecteur  ’
opposé  du vecteur.
Exercices :   
Tracer un représentant de la différence  des vecteurs et    dan les cas suivants :

qu est ce qu un vecteur

La définition du multiple d’un vecteur
nous permet d’affirmer que

qu est ce qu un vecteur